К задаче 1 по комбинаторике

Очень важно при подготоке к решению таких задач сформировать верное пропедевтическое представление, которое затем перейдет в знание о рекуррентных соотношениях и зависимостях, выражающихся явными формулами. Рассмотрите процесс постепенного наращивания числа компьютеров.

Каждый раз к числу кабелей прибавляется столько, сколько до момента добавления нового компьютера было компьютеров. Например, было 3 компьютера и 3 связи. При добавлении 4-го компьютера будет 3+3 = 6 кабелей. При добавлении 5-го будет 6 связей + 4 компьютера = 10 связей. Вопрос в том, как узнать, сколько проводов будет у сотни компьютеров. 

Здесь можно сравнить "лобовой" путь - выписывание возрастающих числе в столбик - и рассуждение, идущее от математической сути ситуации, обобщающее постепенное прибавление. С каким количеством компьютеров соединен каждый из ста? Со всеми остальными, т.е. с 99-ю. То есть общее число связей равно 100*99, но тогда каждая связь учитывалась бы по два раза, то есть, например, кабель от 55-го компьютера к 44-му считался бы так же, как кабель от 44-го компьютера к 55-му, но в условии задачи кабель один. 

Значит, нужно разделить число связей на два (n*(n-1)/2). Эта задача очень похожа на задачу с открытками - но здесь комбинации без повторений.

Выборы из n=100 по r=2, без повторений, порядок не важен, общая формула

Исходя из этих соображений можно конструировать другие подобные задачи - для их решения детям совершенно не нужно знание степеней и факториалов, вполне достаточно обычной арифметики.

Последнее изменение: Monday, 4 January 2016, 17:07