Модуль 2. Как вычислить значение функции?

Цель занятия: На этом занятии вы узнаете, как вычислять значение функции при различных значениях аргумента.

Вычисление значения функции, если функция задана формулой

Вы уже знаете, что функция может быть задана разными способами: с помощью описания, с помощью графика, с помощью таблицы, с помощью формулы.

Важной задачей является вычисление значения функции при различных способах ее задания. На этом уроке вы научитесь находить значение функции в том случае, когда она задана с помощью формулы.

Пример 1.

Рассмотрим функцию, заданную с помощью формулы:  . Найдем значения этой функции при различных значениях независимой переменной х. Например, при х = 3. Для этого подставим данное значение в формулу:

Теперь найдем значения этой функции при других значениях х:

при х = –3: у(–3) =
при х = 0: у(0) = 
при х = 5: у(5) = 
при х = 10: у(10) = 
при х = а: у(а) =

В этом примере мы можем вместо независимой переменной х подставлять любые значения, так как никаких ограничений здесь нет. То есть областью определения этой функции является любое число.

Пример 2.

Найдите значения функции  :

при x = –2: 
при x = –1: 
при x = 0:
при x = 1: 
при x = 2:

Занесем полученные значения в таблицу:

x
–2
–1
0
1
2
y
5
–1
–3
–1
5

Пример 3.

Найдите значения функции  :

при x = –2: 
при x = –1: 
при x = 0: 
при x = 1: 
при x = 2: 

Занесем полученные значения в таблицу:

x
–2
–1
0
1
2
y
12
6
2
0
0

Вы видите, что при двух значениях независимой переменной (при х = 1 и при х = 2) мы получили значения функции, равные 0. Такие значения независимой переменной, при которых функция обращается в 0, называются «нулями» или «корнями» функции.

Пример 4.

Найти значения функции  при различных значениях х:

при х = –1: 
при х = 0: 
при х = 1: 
при х = 10: 
при х = 15:
при х = 5:

В последнем случае при подстановке вместо независимой переменной х значения х = 5 в знаменателе дроби получается 0. Это значит, что при х = 5 значение данной функции вычислить нельзя. Поэтому в этом случае областью определения функции являются уже не все числа, а все числа, за исключением 5.

В таком случае пишут: область определения функции: x ≠ 5.

Пример 5.

Найдите те значения независимой переменной, при которых нельзя найти значения функции

Так как выражение для функции представляет собой дробь, то мы должны следить за тем, чтобы выражение в знаменателе этой дроби не обращалось в ноль.

Вспомним, что произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, то есть  , если x – 3 = 0 или х + 2 = 0, то есть х = 3 или х = –2.

Таким образом, при х = 3 или при х = –2 знаменатель данной дроби будет равен 0, поэтому найти значение функции при этих значениях независимой переменной не получится.

Иначе говоря, областью определения данной функции являются все числа за исключением х = 3 и х = –2.

При решении различных задач часто приходится вместо значения независимой переменной подставлять не только числа, но и целые выражения.

Пример 6.

6.1. Дана функция

Найдите значения функции при:

x = p + 1: 
x = 2p – 3:
x =  :
x =  :

6.2. Дана функция  :

Найдите значения функции при:

x = – 1:
x = 3 – 2p:
x =  :
x =  :

6.3. Дана функция

Найдите значения функции при:

x = p + 2: 
x = –p – 1:
x = p2+ 2:

Вычисление значений функции, заданной таблицей

Если функция задана таблицей, то значение функции можно найти только для тех значений независимой переменной, которые есть в таблице.

Пример 7.

Функция задана таблицей:

x
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
0
5
–1
1
6
2
5
7
2
5
6

В данной случаи можно найти значения функции только при целых значениях независимой переменной от –5 до 5.

7.1. Найдите значения данной функции:

при х = –5: у = 0
при х = –2: у = 1
при х = 0: у = 2
при х = 4: у = 5
при х = 6 значение функции определить нельзя, так как в таблице таких значений нет.
при х = 1,5 значение функции определить также нельзя.

7.2. Найдите те значения аргумента (независимой переменной), при которых значения функции равны:

у = 1 при х = –2
у = 2 при х = 3
у = –1 при х = –3

7.3. Найдите те значения аргумента (независимой переменной), при которых значения функции принимают равные значения; чему они равны?

Из таблицы видно, что во второй строчке три раза встречается число 5, то есть это значение функция принимает при трех разных значениях х: при х = –4, х = 1, х = 4.

Кроме значения 5 есть еще одно значение функции, которое встречается не один раз. Это значение у = 2. Оно встречается два раза. Это значение функция принимает при х = 0 и при х = 3.

7.4. Найдите по таблице нули (корни) функции.

Нули функции – это те значения аргумента, при которых значения функции равны 0. Такое значение независимой переменной – это х = –5.

 

Для закрепления изученного материала поработайте с материалами видеоурока «Примеры задач с функциями». Copywrit

Нажмите на значок Видео

А теперь выполните задание электронного образовательного ресурса «Периметр прямоугольника как функция его сторон».

Последнее изменение: Thursday, 8 December 2016, 18:03