Модуль 9. Кусочно заданные функции

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с функциями, которые заданы не одной формулой, а несколькими разными формулами на разных промежутках.

Функции, задаваемые разными формулами на разных промежутках области определения

Рассмотрим пример ситуации.

Пример 1.

Пешеход начал свое движение в пункте А со скоростью 4 км/ч и шел 2,5 часа. После этого он сделал остановку и отдыхал 0,5 часа. После отдыха он продолжил свое движение со скоростью 2,5 км/ч и двигался еще 2 часа. Опишите зависимость изменения расстояния от пешехода до пункта А со временем.

Заметим, что общее время, которое провел пешеход в дороге, составляет 5 часов. Однако, на разных отрезках времени пешеход удалялся от пункта А по-разному.

Первые 2,5 часа он двигался со скоростью 4 км/ч, поэтому зависимость расстояния между пешеходом и пунктом А от времени можно выразить формулой:

S(t) = 4t,  .

Следующие 0,5 часа он отдыхал, поэтому расстояние между ним и пунктом А не изменялось и составляло 10 км, то есть можно записать: S(t) = 10,  .

Последние 2 часа он двигался со скоростью 2,5 км/ч, и формулу зависимости расстояния между пешеходом и пунктом А от времени можно выразить формулой:

S(t) = 10 + 2,5(t – 3),  .

Таким образом, соединяя последовательно полученные выражения, получаем следующую зависимость, которая выражается тремя разными формулами на разных промежутках области определения:

Областью определения данной функции является промежуток  . Множеством значения является множество чисел  .

На рисунке 1. изображен график этой функции:

График
Рис.1. График функции 

Как мы видим, он представляет собой ломаную, состоящую из трех звеньев, соответствующих трем промежуткам области определения, на каждом из которых зависимость выражается определенной формулой.

Пример 2.

Пусть функция задана формулой:  . Раскроем модуль и построим график этой функции:

При  получаем:  .
При  получаем:  .

То есть функция может быть записана так:

Теперь построим ее график. При отрицательных значениях переменной график будет совпадать с прямой y = 3x + 1, а при неотрицательных значениях переменной график будет совпадать с прямой y = x + 1.

График изображен на рисунке 2.

График
Рис. 2. График функции

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3.

Функция задана графиком (см. Рис. 3):

График
Рис.3. График функции, заданной кусочно

Задайте функцию формулой.

Область определения данной функции состоит из чисел:  .

Вся область определения разбита на три промежутка:

1.
2.   
3.

На каждом из этих промежутков функция задана разными формулами. Каждая из функций, которыми задается функция на промежутках, является линейной. Найдем эти функции.

1. На первом промежутке  функция y = kx + b проходит через точку (–6; –4) и точку (2; 4).

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

–4 = –6k + b
4 = 2k + b

Выразим из первого уравнения b и подставим во второе уравнение:

b = –4 + 6k
4 = 2k –4 + 6k

Отсюда получаем k = 1. Затем вычислим b = 2.

Заметим, что коэффициенты можно было найти по-другому: график пересекает ось ОУ в точке (0; 2). Это значит, что b = 2.

Угловой коэффициент функции положительный. По графику видно, что при изменении значения х на 1 значение у также изменяется на 1. Это значит, что k = 1.

То есть мы получили выражение для функции на промежутке  : y = x + 2.

2. На втором промежутке  функция y = kx + b проходит через точку (2; 4) и точку (6; 2).

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

4 = 2k + b
2 = 6k + b

Выразим из первого уравнения b и подставим во второе уравнение:

b = 4 – 2k
2 = 6k + 4 – 2k

Отсюда получаем k = –0,5. Затем вычислим b = 5.

То есть мы получили выражение для функции на промежутке  : y = –0,5x + 5.

3. На третьем промежутке  функция y = kx + b проходит через точку (6; 2) и точку (9; 11).

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

2 = 6k + b
11 = 9k + b

Выразим из первого уравнения b и подставим во второе уравнение:

b = 2 – 6k
11 = 9k + 2 – 6k

Отсюда получаем k = 3. Затем вычислим b = –16.

То есть мы получили выражение для функции на промежутке  : y = 3x – 16.

Теперь запишем выражение для нашей функции:

Во всех рассмотренных случаях функции, задающие функцию на разных промежутках области определения, были линейными. В этих случаях функцию еще называют кусочно-линейной.

 

Поработайте с материалами видеоурока «Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Кусочно заданная функция на разных промежутках области определения может задаваться не только линейными зависимостями, но и любыми произвольными.

Теперь будем искать значения функции, заданной кусочно.

Пример 4.

Функция задана следующим образом:

Как мы видим, в этом случае функция не является кусочно-линейной.

Найти значения функции при: х = –14; х = –10; х = 0; х = 4; х = 12.

При вычислении значений кусочно-заданных функций нужно обращать внимание на то, какому промежутку области определения принадлежит данное число, то есть по какой формуле нужно вычислять ее значение.

  1. Точка х = –14 не принадлежит ни одному из промежутков, то есть не принадлежит области определения функции, значит, и значения ее в этой точке не существует.
  2. Точка х = –10 принадлежит первому промежутку области определения, поэтому значения функции нужно вычислять по первой формуле:
  3. Точка х = 0 принадлежит второму промежутку области определения, поэтому значения функции нужно вычислять по второй формуле:
  4. Точка х = 4 принадлежит второму промежутку области определения, поэтому значения функции нужно вычислять по второй формуле:
  5. Точка х = 12 принадлежит третьему промежутку области определения, поэтому значения функции нужно вычислять по третьей формуле:
Последнее изменение: Thursday, 8 December 2016, 18:52