Модуль 10. Решение задач: обобщение и систематизация знаний по теме «Функция». Графики линейных уравнений

Цели занятия: На этом занятии вы повторите все то, что знаете про функцию, и отработаете свои умения при решении задач.

Обобщение и систематизация знаний по теме «Функция»

Напомним, что функциональной зависимостью или функцией называется такая зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

 

Поработайте с материалами видеоурока «Как определить, является и зависимость функцией». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Пример 1.

Рассмотрим график зависимости y = y(x), изображенной на рисунке 1.

График
Рис. 1. График произвольной зависимости y = y(x)

Эта зависимость не является функциональной, так как при некоторых значениях переменной х можно найти два значения зависимой переменной у.

Пример 2.

Рассмотрим зависимость у = у(х), заданную формулой: |у| = x.

Эта зависимость также не является функциональной зависимостью у = у(х), так как для положительных значений х можно найти два значения у. Например, для х = 4 получаем:

|у| = 4, то есть у = 4 или у = –4, то есть для каждого положительного значения независимой переменной х можно записать:  .

Пример 3.

Рассмотрим зависимость у = у(х), заданную формулой:  .

Эта зависимость является функцией, так как для каждого значения х из области определения значение дроби определяется однозначно, а это значит. что для каждого допустимого значения переменной х существует ровно одно значение зависимой переменной у.

Областью определения данной функции является все множество чисел за исключением х = 4.

Пример 4.

Найдем области определения следующих функций:

1. 

В данном случае областью определения функции является любое число, так как никаких ограничений при вычислении значений функции нет.

2. 

В данном случае ограничением является наличие независимой переменной х в знаменателе, который не должен обращаться в ноль. Поэтому областью определения данной функции являются все числа, за исключением х = 0.

3.

Эта функция также содержит дробь, в знаменателе которой содержится независимая переменная х. Но этот знаменатель не может обращаться в ноль, так как выражение  , поэтому  .

4. 

Эта функция включает дробь, знаменатель которой представляет собой произведение трех множителей, каждый из которых может быть равен нулю. Поэтому из области определения нужно исключить те значения переменной х, при которых это происходит. х + 2 = 0 при х = –2; х – 4 = 0 при х = 4; 2х – 10 = 0 при х = 5. То есть область определения состоит из всех чисел, за исключением х = –2; х = 4; х = 5.

Пример 5.

Найдем нули функции:

Напомним, что нулем (или корнем) функции называется такое значение независимой переменной, при котором значение функции равно 0. Найдем нули для каждой функции.

  1. Решим уравнение: 16 – 2x = 0. Решением этого уравнения является число x = 8. Это число и является нулем функции.
  2. Решим уравнение:  . Решением этого уравнения является число x = 0, так как при этом значении переменной числитель дроби обращается в 0, а знаменатель нулю не равен.
  3. Решим уравнение:  .

Это равенство верно, если 4 – 2x = 0, или 3x + 6 = 0, или 5x – 11 = 0. То есть x = 2, или x = –2, или x = 2,2.

Таким образом, эта функция имеет три нуля (или корня): x = 2, x = –2, x = 2,2.

 

Вы уже знаете, что среди всего многообразия функций большое значение имеют линейные функции.

Вспомните, как распознать линейную функцию, поработав с материалами видеоурока «Распознавание линейных функций». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Для того чтобы вспомнить свойства и график линейной функции, поработайте с электронными образовательными ресурсами (ЭОР) «Линейная функция» и «Линейная функция и ее график».

Результаты выполнения заданий обсудите с учителем на форуме или видеокомнате.

 

Вспомним, как изменяются знаки линейной функции в зависимости от ее коэффициентов.

Пример 6.

Найдем промежуток, на котором положительна функция:

1. y = 2x – 8

Напомним, что при положительном угловом коэффициенте знак линейной функции изменяется с «–» на «+» слева-направо, то есть при значениях независимой переменной, меньших нуля, значения функции отрицательны, а при значениях независимой переменной, больших нуля, значения функции положительны.

Найдем ноль функции: 2x – 8 = 0, х = 4.

Значит, значения данной функции положительны при x>0.

2. y = –3x – 9

При отрицательном угловом коэффициенте знак линейной функции изменяется с «+» на «–» слева-направо, то есть при значениях независимой переменной, меньших нуля, значения функции положительны, а при значениях независимой переменной, больших нуля, значения функции отрицательны.

Найдем ноль функции: –3x – 9 = 0, х = – 3.

Значит, значения данной функции положительны при x < – 3.

3. y = –5

Эта функция представляет собой константу, она не изменяет свой знак и остается все время отрицательной. Поэтому для нее не существует промежутка, на котором она положительна.

Пример 7.

Найдем угловой коэффициент линейной функции y = kx + 5, если ее график проходит через точку (–1; 10).

Так как график функции проходит через точку с заданными координатами, то при подстановке этих координат в уравнение функции оно обращается в верное числовое равенство: 10 = –k + 5. Решая его, получим k = –5.

Пример 8.

Найдем уравнение линейной функции y = kx + b, если ее график проходит через точки (–2; 6) и (4; 9).

Так как график функции проходит через точки с заданными координатами, то при подстановке этих координат в уравнение функции оно обращается в верное числовое равенство, то есть:

6 = –2k + b
9 = 4k + b

Выразим b из первого уравнения b = 6 + 2k и подставим во второе: 9 = 4k + 6 + 2k. Решая его, получим k = 0,5. теперь подставим его в первое уравнение и найдем значение b = 7.

Уравнение функции имеет вид: у = 0,5х + 7.

 

Для того чтобы вспомнить, как могут быть расположены графики линейных функций, поработайте с ЭОР «Взаимное расположение графиков линейных функций».

Результаты выполнения заданий обсудите с учителем на форуме или видеокомнате.

Решение задач с использованием линейной функции

Рассмотрим пример задачи, при решении которой используется линейная функция и ее график.

Задача.

Затраты на перевозку одного и того же груза разными видами транспорта определяются формулами:

y1 = 400 + 2x
y2 = 800 + 1,5x

где х – расстояние в километрах, y1, y2 – стоимость перевозки в рублях. Постройте графики этих функций. На каких расстояниях выгодно пользоваться первым видом транспорта? Начиная с какого расстояния экономичнее становится второй вид транспорта?

Решение:

Напомним, что для построения графика линейной функции достаточно двух точек на плоскости. (Из геометрии: через две точки проходит прямая и притом только одна, что означает, что прямая однозначно определяется двумя точками). Поэтому предполагаем, что с первой частью задания вы справитесь самостоятельно. Сделаем лишь два замечания:

  1. Очевидно, что областью определения линейной функции является все множество действительных чисел. Однако, на практике известные функции рассматриваются не на естественной, а на искусственной области определения, которая часто определяется соображениями здравого смысла. В нашем случае такой областью определения является только множество положительных чисел (расстояние не может быть выражено отрицательным числом). Таким образом, график будет располагаться только в первой координатной четверти.
  2. Для того чтобы максимально эффективно расположить и показать график любой функции нужно правильно выбрать масштаб. Поскольку свободный коэффициент наших функций значителен, целесообразно в качестве единичного отрезка на оси ординат выбрать клетку, которая равна 200 единицам стоимости перевозки. Единичный отрезок по оси абсцисс также может быть выбран, равный одной клетке, в которой содержится 200 км.

Графики данный функций изображены на рисунке 2.

График
Рис. 2. Графики функций y1 = 400 + 2x (черный) и y2 = 800 + 1,5x (сиреневый)

Ответить на вопросы задачи с помощью графиков достаточно просто. Напомним, что значения одной из функций меньше на тех промежутках области определения, где график ее расположен ниже. Поэтому использование первого вида транспорта будет выгоднее до тех пор, пока график первой функции (черный) будет располагаться ниже графика второй функции (сиреневого), то есть до того момента, пока они не пересекутся.

По графику видно, что графики пересекаются в точке с абсциссой х = 800 (с учетом выбранного масштаба).

Однако для ответа на вопросы задачи необязательно строить графики функций. Достаточно найти решение неравенства: 400 + 2х < 800 + 1,5х (значения первой функции меньше, чем значения второй). Решением этого неравенства является x < 800. Что означает: первым видом транспорта выгоднее пользоваться, когда расстояние перевозок не превышает 800 километров. Дальше выгоднее пользоваться вторым видом транспорта. На 800 км везти груз можно любым видом транспорта. Затраты будут одинаковыми.

Последнее изменение: Thursday, 8 December 2016, 18:56