Модуль 1. Что такое функция?

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с таким новым для вас понятием, как «функция».

Зависимости и функции

Вам, конечно, часто приходилось встречаться в своей жизни с такими величинами, которые зависят друг от друга.

Рассмотрим несколько простых примеров.

Пример 1.

Допустим, вы хотите купить несколько глазированных сырков, каждый из которых стоит 28 рублей. Количество денег, которое понадобиться вам для того чтобы заплатить за покупку, зависит от того, сколько сырков вы хотите купить:

за один сырок – Р = 28 ∙ 1 = 28
за два сырка – Р = 28 ∙ 2 = 56
за три сырка – Р = 28 ∙ 3 = 84
за несколько сырков, количество которых равно nР = 28 ∙ n

В этом случае мы имеем дело с зависимостью стоимости покупки от количества купленных единиц товара.

Зависимость стоимости покупки от количества купленных сырков выражается в данном случае формулой Р = 28n

В этом случае мы выбираем значение n произвольно, а Р зависит от n. n в таком случае называют независимой переменной, а Р – зависимой переменной.

Заметим, что в этом примере независимая переменная n может быть выражена только натуральным числом. При этом значение зависимой переменной также выражается натуральным числом.

Пример 2.

Туристы отправляются в поход. Средняя скорость передвижения группы составляет 3,5 км/ч. Сколько километров сможет преодолеть туристическая группа за день?

Совершенно понятно, что расстояние, которое будет пройдено группой за день, зависит от того, сколько времени туристы будут двигаться:

за один час туристы пройдут S = 3,5 ∙ 1 = 3,5 км
за два часа – S = 3,5 ∙ 2 = 7 км
за три часа – S = 3,5 ∙ 3 = 10,5 км
за 3,5 часа – S = 3,5 ∙ 3,5 = 12,25 км
за несколько часов - S = 3,5 ∙ t.

В этом случае зависимость длины пройденного пути от времени выражается формулой S = 3,5t, где t – независимая переменная – количество времени, проведенной в пути, а S – зависимая переменная – длина пройденного пути.

Заметим, что в этом случае независимая переменная t может принимать не только натуральные значения, но все равно остается положительным числом. При этом значение зависимой переменной также выражается положительным числом.

Пример 3.

Объем куба Vсм3 зависит от длины его ребра.

Для каждого значения а можно найти значение объема куба:

при а = 1 значение V = 13 = 1 см3
при а = 2 значение V = 23 = 8 см3
при а = 3 значение V = 33 = 27 см3
при произвольном значении а V = a3 см3

В этом случае зависимость объема куба от длины его ребра выражается формулой V = a3, а – независимая переменная, V – зависимая переменная.

В этом случае ребро куба может выражаться любым положительным числом. Объем также будет положителен.

Пример 4.

В магазин привезли m ящиков яблок по 20 кг в каждом и 300 кг груш. Для каждого значения m можно найти общую массу привезенных фруктов:

при m = 1 М = 20 ∙ 1 + 300 = 320 кг
при m = 10 М = 20 ∙ 10 + 300 = 500 кг
при m = 15 М = 20 ∙ 15 + 300 = 600 кг
при произвольном значении m М = 20 ∙ m + 300 = 20 m + 300 кг

Количество m ящиков может быть выражено любым положительным числом.

 

В первых четырех примерах мы получили формулу, которая выражает зависимость одной переменной (зависимой) от другой (независимой).

 

Пример 5.

На рисунке 1. изображен график зависимости изменения температуры воздуха в течение суток, точнее, от 0:00 до 22:00.

В этом случае по графику можно найти значение температуры воздуха от времени суток t, где 0 ≤ t ≤ 22.

В этом случае у нас нет формулы, которая выражает зависимость температуры (зависимой переменной) от времени (независимой переменной).

График
Рис. 1. График зависимости
температуры от времени суток

Пример 6.

При покупке в Интернет магазине стоимость покупки формируется с учетом скидки: чем больше единиц товара покупается, тем более выгодной становится покупка единицы товара. Известна зависимость стоимости покупки Р от количества единиц товара n. Эта зависимость выражена в таблице 1.

Таблица 1

Зависимость стоимости покупки Р от количества единиц товара n
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
100
190
270
350
415
480
525
560
585
600

Пользуясь данными таблицы, можно узнать стоимость покупки для всех значений n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

при n = 1 она составит 100 рублей
при n = 3 – 270
при n = 6 – 480
при n = 10 – 600.

В этом примере независимой переменной является n – количество единиц покупаемого товара, зависимой переменной является Р – стоимость покупки.

 

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. В таких случаях говорят, что имеет место функциональная зависимость или функция.

Заметим, что термин «функция» был введен Лейбницем.

 

Как вы видели, функция может быть задана формулой (Примеры 1–4), графиком (Пример 5) или таблицей (Пример 6).

Независимую переменную называют аргументом, а зависимую переменную – функцией этого аргумента.

Все значения, которые может принимать независимая переменная, образует область определения функции.

В Примерах 1 и 4 областью определения функции является все множество натуральных чисел; в Примерах 2 и 3 – все множество положительных чисел; в Примере 5 – множество положительных чисел от 0 до 22; в Примере 6 – множество натуральных чисел от 1 до 10.

Все значения зависимой переменной образуют множество значений функции.

В Примере 3 множеством значения функции является множество положительных чисел; в Примере 5 – множество положительных чисел от 10 до 20.

Независимая переменная может быть названа по-разному, но чаще независимую переменную обозначают буквой х, а функцию (зависимую переменную) – буквой у. Часто функцию обозначают ƒ, а тот факт, что одна переменная зависит от другой, обозначают следующим образом: y(x), ƒ(x).

Символьная запись y = ƒ(x) – была введена Леонардом Эйлером.

 

Рассмотрим еще два примера функциональной зависимости.

Пример 7.

Прямоугольник составлен из равных квадратов со стороной х (см. Рис. 2.)

Рисунок 2
Рис. 2. Рисунок к Примеру 7

Площадь составленного прямоугольника зависит от длины стороны квадрата, из которых он состоит (см. Рис. 3.).

Рисунок 3
Рис. 3. Изменение площади прямоугольника при изменении длины стороны квадрата

Для каждого значения длины стороны квадрата можно найти площадь прямоугольника:

при х = 0,5 см S = (0,5)2 ∙ 10 = 2,5 см2
при х = 1 см S = 12 ∙ 10 = 10 см2
при х = 2,5 см S = (2,5)2 ∙ 10 = 62,5 см2
при произвольном значении х см S = x2 ∙ 10 = 10x2 см2

Таким образом, зависимость площади прямоугольника от длины стороны квадрата, из которых от составлен, выражается формулой S = 10x2. х – длина стороны квадрата – в этом примере является независимой переменной, S – площадь прямоугольника – является зависимой переменной или функцией от х. То есть мы можем записать: S = S(х).

Область определения функции S(х) – все множество положительных чисел; множество значений – также множество положительных чисел.

Пример 8.

Температура воздуха измеряется в разных единицах: градусах Цельсия, градусах Фаренгейта, Кельвинах и др. Несмотря на то, что самой распространенной единицей измерения температуры воздуха сейчас является градус Цельсия, до сих пор в некоторых странах (например, в США), при измерении температуры воздуха используют градусы Фаренгейта. Для того чтобы перевести градусы Цельсия в градусы Фаренгейта, сначала умножают градусы Цельсия на 1,8, а затем прибавляют 32. То есть:

С =0 ∙ 1,8 + 32 = 32°F
10°С = 10 ∙ 1,8 + 32 = 50°F
35°С = 35 ∙ 1,8 + 32 = 95°F
–15°С = –15 ∙ 1,8 + 32 = 5°F
С = a ∙ 1,8 + 32 = (32+1,8aF

То есть формула зависимости градусов Фаренгейта от градусов Цельсия выражается формулой: F(С) = 1,8С + 32.

В этом примере в качестве независимой переменный выступает значение температуры в градусах Цельсия, а зависимой переменной – значение температуры в градусах Фаренгейта.

 

Областью определения функции F(C) являются не только положительные числа, так как температура может быть и отрицательной. Как вы знаете из курса физики, самое маленькое значение температуры в градусах Цельсия равно –273° (точнее, –273,15°). Поэтому областью определения данной функции является множество чисел С ≥ –273,15.

Можно найти множество значений этой функции. Самое маленькое значение функция принимает при С = –273,15 и равно F = –459,67. Интуитивно понятно, что чем больше значение температуры, выраженное в градусах Цельсия, тем больше будет значение температуры, выраженное в градусах Фаренгейта. Поэтому множеством значения этой функции будут все числа F ≥ –459,67.

 

В завершение урока поработайте с материалами видеоурока «Функция. Введение». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Последнее изменение: Четверг, 8 Декабрь 2016, 17:58