Модуль 3. Что такое график функции?

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с таким понятием как «график функции», научитесь строить эскизы графиков и начнете учиться читать графики функций.

Прямоугольная (декартова) система координат

Для того чтобы вспомнить, как изобразить на координатной плоскости точки с известными координатами и наоборот, найти координаты точек, изображенных на координатной плоскости, поработайте с материалами видеоуроков. Copywrit

«Упорядоченные пары на координатной плоскости»

Нажмите на значок Видео

«Координатная плоскость»

Нажмите на значок Видео

«Координатные четверти»

Нажмите на значок Видео

Эти знания и умения понадобятся вам при построении и чтении графиков функций.

График функции

Прежде чем приступать к изучению материалов следующей части урока, поработайте с материалами видеоурока «Декартовы координаты». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Вы узнали, что придумал французский философ и математик Рене Декарт.

Пример 1.

Теперь рассмотрим функцию  . Будем находить значения этой функции для различных значений аргумента и заносить полученные значения в таблицу.

х
–1
0
1
2
4
5
6
7
у
–0,5
–1
–2
2
1
0,5

 

y(–1) =
y(0) =
y(1) =
y(2) =
y(4) =
y(5) =
y(6) =
y(7) =

Теперь нанесем полученные точки на координатную плоскость.

График
Рис. 2. Точки с координатами (х; у) для графика функции 

Видно, что для построения графика полученных точек недостаточно. Так как при х = 3 значение функции вычислить нельзя, то найдем еще несколько значений данной функции вблизи точки х = 3.

х
2,2
2,5
2,6
3,4
3,5
3,8
у
–2,5
–4
–5
5
4
2,5

Нанесем новые точки на координатную плоскость.

График
Рис. 3. Точки с координатами (х; у) для графика функции

Видно, что при приближении значений аргумента к х = 3 значения функции растут по модулю. Если значения аргумента больше 3, то значения функции остаются положительными, если значения аргумента меньше 3, то значения функции остаются отрицательными.

Что будет происходить со значениями функции, если значения аргумента становятся все больше (меньше). При увеличении значений х знаменатель дроби  тоже увеличивается, значит, значение самой дроби уменьшаются, но остаются положительными. При уменьшении значений х знаменатель дроби  тоже уменьшается, но увеличивается по модулю, оставаясь отрицательным, значит, значения самой дроби уменьшаются, но остаются отрицательными.

Достраивая график функции, получаем следующую кривую:

График
Рис. 4. График функции

Пример 2.

Построим график функции  при  .

Найдем значения функции при различных значениях аргумента и занесем их в таблицу.

х
–1
0
1
2
3
4
5
2у3
5
0
–3
–4
–3
0
5

Теперь нанесем полученные точки на координатную плоскость:

График
Рис. 5. Точки с координатами (х; у) для графика функции 

Теперь соединим полученные точки плавной линией и получим график данной функции  при  .

График
Рис. 6. График функции  при 

График позволяет наглядно представить зависимость между двумя переменными: зависимой и независимой. Используя график, можно исследовать зависимости величин, используя визуальный образ.

Часто при решении задач, не строя график функции, заданной с помощью формулы, нужно определить, принадлежит ли точка графику функции.

Пример 3.

Определить, принадлежит ли точка с координатами (-2; 5) графику функции  .

Для того чтобы ответить на этот вопрос, подставим в уравнение функции вместо х значение –2, а вместо у значение 5:  . Если равенство получится верным, то данная точка принадлежит графику функции. Если равенство будет неверным, то точка графику не принадлежит. В данном случае мы получили верное равенство: 5 = 5. Поэтому точка с координатами (–2; 5) принадлежит графику функции  .

Определим, принадлежит ли графику данной функции точка с координатами (3; 15).

Поставим координаты в уравнение функции:  . Очевидно, что полученное равенство верным не является, поэтому данная точка графику этой функции не принадлежит.

Дела вывод, можно сформулировать следующее определение графика функции:

Внимание

Определение. Графиком функции y=f(x) называется множество точек координатной плоскости (х; ƒ(x)).

Читаем график функции

Теперь будем учиться читать график функции, то есть отвечать на вопросы о свойствах функции в том случае, если дан его график.

Пример 4.

Используя график функции, изображенный на рисунке 7., ответьте на вопросы.

График
Рис. 7. График произвольной функции
  1. Найдите область определения функции
  2. Найдите множество значений функции
  3. Найдите положительные нули функции
  4. Найдите значение функции при х = –1; х = –6; х = 5
  5. Найдите те значения аргумента, при которых значения функции равны: у = –4; у = 7.

Ответим на все вопросы последовательно.

1. Как видно по графику, значения аргумента (независимой переменной х) изменяются от –9 до 14. Именно для таких значений переменной х можно найти точки графика. Для того чтобы убедится в этом, в произвольной точке  оси ОХ проведем перпендикуляр к оси ОХ. Выше или ниже оси ОХ проведенный перпендикуляр «встретится» с графиком функции. Это означает, что для каждого значения  можно найти значение функции.

2. Для того чтобы найти множество значений функции, найдем на графике самую «высокую» точку и самую «низкую» точку. Видно, что самая «высокая» точка графика – это точка (–9; 10), а самая «низкая» – (–3; –12). Для того чтобы убедиться, что функция может принимать любые значения  , в произвольной точке  оси ОУ будем проводить перпендикуляры к оси ОУ. Справа или слева от оси ОУ проведенный перпендикуляр «встретится» с графиком функции. Это означает, что для каждого значения  можно найти значение те значения аргумента х, при котором функция принимает это значение.

Таким образом, множество значений функции – это отрезок  .

3. Напомним, что нулем функции называется то значение аргумента, при котором значение функции (у) равно 0.

Найдем положительные нули функции, то есть те положительные значения х, при которых у = 0. Найдем на графике функции справа от оси ОХ точки, в которых он пересекает ось ОХ. Именно в этих точках значение абсцисс – это нули функции. Это точки (2; 0) и (9;0). Положительными нулями функции являются значения х = 2 и х = 9.

4. Найдем значения функции в заданных точках.

Для этого в точке х = –1 проведем перпендикуляр к оси ОХ. Этот перпендикуляр пересекает график функции в некоторой точке с координатами (–1; у). Теперь из этой точки опустим перпендикуляр на ось ОУ. Этот перпендикуляр пересекает ось ОУ в точке у = –8. Таким образом, значение функции в точке х = –1 равно у = –8.

Аналогично найдем значения функции в точках х = –6 и х = 5.

у(–6) = -4
у(5) = 7.

5. Найдем значения аргумента, при которых значения функции равны заданным.

Для этого в точке у = –4 проведем перпендикуляр к оси ОУ. Этот перпендикуляр пересекает график функции в некоторой точке с координатами (х; –4). Теперь из этой точки опустим перпендикуляр на ось ОХ. Этот перпендикуляр пересекает ось ОХ в точке х = –6. Таким образом, значение функции равно у = –4 в точке х = –6.

Аналогично найдем значение аргумента, при котором значение функции равно 7. Таких значений два: х = 5 и х = 7.

 

Теперь для закрепления изученного материала поработайте с электронными образовательными ресурсами:

«Что такое функция. Вычисление значений. График функции
«Понятие функции. Вычисление значений функций. График функции

И проверьте себя, выполнив задания электронного образовательного ресурса «Что такое функция. Вычисление значений функции. График функции

Последнее изменение: Thursday, 8 December 2016, 18:07