Модуль 4. Как выглядит график прямой пропорциональности и как его построить?

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с особым видом функциональной зависимости – прямой пропорциональностью – и ее графиком.

Прямая пропорциональная зависимость

Рассмотрим несколько примеров зависимостей.

Пример 1.

Если предположить, что пешеход движется со средней скоростью 3,5 км/ч, то длина пути, который он пройдет, зависит от времени, проведенном в пути:

за час пешеход пройдет 3,5 км
за два часа – 7 км
за 3,5 часа – 12,25 км
за t часов – 3,5t км

В этом случае мы можем записать зависимость длины пути, пройденного пешеходом, от времени так: S(t)=3,5t.

t – независимая переменная, S – зависимая переменная (функция). Чем больше время, тем больше путь и наоборот – чем меньше время, тем меньше путь. При каждом значении независимо переменной t можно найти отношение длины пути ко времени. Как вы знаете, оно будет равно скорости, то есть в данном случае – 3,5.

Пример 2.

Известно, что за свою жизнь пчела-сборщица осуществляет около 400 вылетов, пролетая в среднем 800 км. Из одного рейса она возвращается с 70 мг нектара. Для получения 1 грамма меда пчеле необходимо совершить в среднем 75 таких рейсов. Таким образом за свою жизнь она производит всего около 5 граммов меда. Давайте посчитаем, сколько меда а свою жизнь произведут:

10 пчёл – 50 граммов
100 пчёл – 500 граммов
280 пчёл – 1400 граммов
1350 пчёл – 6750 граммов
х пчёл – 5х граммов

Таким образом, можно записать уравнение зависимости, которой выражается количество меда, произведенного пчелами, от количества пчел: Р(х) = 5х.

х – независимая переменная (аргумент), Р – зависимая переменная (функция). Чем больше пчел – тем больше меда. Здесь, так же, как и в предыдущем примере, можно найти отношение количества меда к количеству пчел, оно будет равно 5.

Пример 3.

Пусть функция задана таблицей:

х
–3
–2,7
–2
–1,6
–1
–0,5
0
1,1
2
2,5
2,7
3
3,6
4
у
12
10,8
8
6,4
4
2
0
–4,4
–8
–10
–10,8
–12
–14,4
–16

Найдем отношение значения зависимой переменной к значению независимой переменной для каждой пары (х; у) и занесем это отношение в таблицу:

х
–3
–2,7
–2
–1,6
–1
–0,5
0
1,1
2
2,5
2,7
3
3,6
4
у
12
10,8
8
6,4
4
2
0
–4,4
–8
–10
–10,8
–12
–14,4
–16
–4
–4
–4
–4
–4
–4
?
–4
–4
–4
–4
–4
–4
–4

Мы видим, что для каждой пары значений (х; у) отношение  , поэтому можно записать нашу функцию так: y = –4x с учетом области определения данной функции, то есть для тех значений х, которые занесены в таблицу.

Заметим, что для пары (0; 0) эта зависимость также будет верна, так как у(0) = 4 ∙ 0 = 0, поэтому таблица на самом деле задает функцию y = –4x с учетом области определения данной функции.

И в первом, и во втором примере видна определенная закономерность: чем больше значение независимой переменной (агрумента), тем больше значение зависимой переменной (функции). И наоборот: чем меньше значение независимой переменной (агрумента), тем меньше значение зависимой переменной (функции). При этом отношение значения зависимой переменной к значению аргумента в каждом случае остается одинаковым.

Такую зависимость называют прямой пропорциональностью, а постоянное значение, которое принимает отношение значения функции к значению аргумента – коэффициентом пропорциональности.

Однако заметим, что закономерность: чем больше х, тем больше у и, наоборот, чем меньше х, тем меньше у в такого типа зависимостях будет выполнятся только тогда, когда коэффициент пропорциональности является положительным числом. Поэтому более важным показателем того, что зависимость является прямой пропорциональностью, является постоянство отношения значений зависимой переменной к независимой, то есть наличие коэффициента пропорциональности.

В Примере 3 мы также имеем дело с прямой пропорциональностью, на этот раз с отрицательным коэффициентом, который равен –4.

Определение: Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана формулой y = kx, где х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная (значения функции), k – коэффициент пропорциональности.

Например, среди зависимостей, выраженных формулами:

  1. I = 1,6p
  2. S = –12t + 2
  3. r = –4k3
  4. v = 13m
  5. y = 25x – 2
  6. P = 2,5a

прямой пропорциональностью являются 1., 4. и 6. зависимости.

 

Придумайте 3 примера зависимостей, которые является прямыми пропорциональностями и обсудите свои примеры на форуме или видеокомнате.

Познакомьтесь с другим подходом к определению прямой пропорциональности, поработав с материалами видеоурока «Прямая пропорциональность и ее график». Copywrit

Нажмите на значок

График прямой пропорциональности

Перед изучением следующего фрагмента занятия поработайте с материалами электронного образовательного ресурса «Прямая пропорциональность».

Из материалов Электронного образовательного ресурса вы узнали, что графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Давайте убедимся в этом, построив графики функций у = 1,5х и у = –0,5х на одной координатной плоскости.

Составим таблицу значений для каждой функции:

у = 1,5х

х
–3
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
у
–4,5
–3,75
–3
–2,25
–1,5
–0,75
0
0,75
1,5
2,25
3
3,75
4,5

Нанесем полученные точки на координатную плоскость:

График
Рис. 1. Точки, соответствующие функции у = 1,5х

Видно, что отмеченные нами точки на самом деле ложатся на прямую, проходящую через начало координат. Теперь соединим эти точки прямой.

Рис. 2. График функции у = 1,5х

Теперь поработаем так же с функцией у = –0,5х.

х
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
у
2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
График
Рис. 3. График функции у = 1,5х и точки, соответствующие функции у = –0,5х

Соединим все полученные точки линией:

График
Рис. 4. Графики функций у = 1,5х и у = –0,5х

 

Для того чтобы более подробно изучить материал, связанный с графиком прямой пропорциональности, поработайте с материалами фрагмента видеоурока «Прямая пропорциональность и ее график». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Теперь поработайте с материалами электронного образовательного ресурса «Прямая пропорциональность» и проверьте себя, выполнив задания электронного образовательного ресурса «Прямая пропорциональность».

Обсудите результаты решения задач с уителем на форуме или в видеокомнате.

Рассмотрите примеры построения графиков прямой пропорциональности, поработав с материалами видеоурока «Прямая пропорциональность и ее график». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Таким образом, рассматривая графики прямой пропорциональности можно сделать следующие выводы:

  1. графиком функции вида у = kx является прямая;
  2. график функции вида у = kx всегда проходит через начало координат;
  3. если k > 0, то график функции у = kx расположен в первой и третьей координатных четвертях, угол, образованный графиком функции у = kx и положительным направлением оси ОХ является острым, а если k < 0, то график функции у = kx расположен во второй и четвертой координатных четвертях, угол, образованный графиком функции у = kx и положительным направлением оси ОХ является тупым;
  4. если k > 0, то функция у = kx возрастает (чем больше аргумент, тем больше значение функции), если k < 0, то функция у = kx убывает (чем больше аргумент, тем меньше значение функции);
  5. чем больше модуль коэффициента пропорциональности, тем быстрее изменяются значения функции;

 

Теперь рассмотрите примеры решения задач, связанных с прямой пропорциональностью, поработав с материалами видеоурока «Прямая пропорциональность и ее график». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Последнее изменение: Thursday, 8 December 2016, 18:15