Модуль 5. Что такое линейная функция?

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с линейной функцией, научитесь отличать линейные функции от других видов зависимостей, узнаете, как выглядит график линейной функции и как его построить.

Линейная функция

Рассмотрим несколько примеров функциональных зависимостей.

Пример 1.

Пешеход вышел из пункта А в пункт В, расположенный от пункта А на расстоянии 16 км. В является конечным пунктом. Опишите зависимость изменения расстояния от пешехода до пункта В, если пешеход будет двигаться со скоростью 2,5 км/ч.

Через час пешеход пройдет 2,5 км и будет находиться от пункта В на расстоянии S = 16 – 2,5.
Через два часа пешеход преодолеет путь 2,5 ∙ 2 км и будет находиться от пункта В на расстоянии S = 16 – 2,5 ∙ 2 км.
Через t часов пешеход преодолеет расстояние 2,5 ∙ t км и будет находиться от пункта В на расстоянии S = 16 – 2,5 ∙ t км. Таким образом, зависимость расстояния от пешехода до пункта В от времени выражается следующей формулой: S(t) = 16 – 2,5t, где t – время, независимая переменная, S – расстояние – зависимая переменная или функция.

Очевидно, что с увеличением времени расстояние между пешеходом и пунктом В будет уменьшаться, пока не станет равным 0. Зная формулу, можно определить количество времени, которое понадобиться пешеходу для того, чтобы преодолеть расстояние. Для этого нужно приравнять S к нулю и решить уравнение:

S = 0 или 16 – 2,5t = 0

Решая это уравнение, получаем t = 6,4 часа или 6 часов 24 минуты.

Зная это, мы можем сказать, что, поскольку множество значений этой функции определяется неравенством 0 ≤ S ≤ 16, то в соответствии с этим, областью определения этой функции является множество значений t, соответствующее неравенству 0 ≤ t ≤ 6,4.

Записывая данную зависимость в традиционных обозначениях с помощью х и у, получим функцию: у = 16 – 2,5х.

Пример 2.

Фигура имеет форму, изображенную на рисунке 1.

Она состоит из треугольника, который имеет площадь 4,5 см2 и прямоугольника, построенного на его стороне, длина которой равна а.

Вторая сторона прямоугольника изменяется произвольно. В этом случае площадь фигуры зависит от длины второй стороны прямоугольника:

График
Рис. 1. Рисунок к Примеру 2.

при b = 1 S = 4,5 + 3 ∙ 1 = 4,5 + 3 = 7,5 см2
при b = 2,5 S = 4,5 + 3 ∙ 2,5 = 4,5 + 7,5 = 12 см2
при b = 15 S = 4,5 + 3 ∙ 15 = 4,5 + 45 = 49,5 см2

Таким образом, значение площади S может быть выражено формулой:

S = 4,5 + 3 ∙ b = 4,5 + 3b.

Очевидно, что с увеличение значения b величина площади увеличивается. Поскольку b может увеличиваться неограниченно, начиная с 0, то и площадь фигуры также может увеличиваться неограниченно, но не может быть меньше 4,5.

Записывая данную зависимость в традиционных обозначениях с помощью х и у, получим функцию:

у = 4,5 + 3х.

Область определения данной функции является все множество положительных чисел: x ≥ 0, множество значений – множество положительных чисел, начиная с 4,5: y ≥ 4,5.

Пример 3.

Часть этажей торгово-развлекательного центра расположена под землей. Самая нижняя точка, куда посетители могут опуститься на лифте, распложена на глубине 12 м ниже уровня земли. Лифт поднимается со скоростью 1,5 м/с. Выразите зависимость положения лифта над уровнем земли от времени его движения. Найдите область определения и множество значений, а также нули полученной функции, учитывая, что максимальная высота, на которую поднимается лифт, равна 30 метров.

Так как самая нижняя точка расположена ниже уровня земли, можно сказать, что высота этой точки равна –12 м.

Если лифт начинает свое движение с этой точки, то через 1 с он окажется на «высоте»
h = –12 + 1,5 ∙ 1 = –12 + 1,5 = –10,5

через 5 с он окажется на «высоте» h = –12 + 1,5 ∙ 5 = –12 + 7,5 = –4,5
через 10 с он окажется на «высоте» h = –12 + 1,5 ∙ 10 = –12 + 15 = 3
через 25 с он окажется на «высоте» h = –12 + 1,5 ∙ 25 = –12 + 37,5 = 25,5

Зависимость положения лифта над уровнем земли в зависимости от времени его движения выражается формулой:

h = –12 + 1,5t.

Очевидно, что с увеличением времени от начала движения расстояние лифта до поверхности земли сначала уменьшается и в какой-то момент будет равняться 0, а потом начнет увеличиваться.

Записывая данную зависимость в традиционных обозначениях с помощью х и у, получим функцию:

у = –12 + 1,5х.

Множество значений данной функции определяется неравенством:

–12 ≤ y ≤ 30.

Определим, сколько времени понадобиться лифту, чтобы подняться на наибольшую высоту. Для этого решим уравнение:

–12 + 1,5х = 30

Решая его, получаем значение х = 28. Таким образом, область определения данной функции определяется неравенством:

0 ≤ x ≤ 28.

Теперь найдем, сколько времени понадобиться лифту, чтобы оказаться на поверхности земли. Эта точка соответствует нулю (корню) функции, поскольку «высота» в данной точке равна 0. Решим уравнение:

–12 + 1,5 х = 0

Решая его, получаем значение х = 8.

Во всех рассмотренных примерах мы получили функции:

  1. у = 16 – 2,5х = –2,5х + 16
  2. у = 4,5 + 3х = 3х + 4,5
  3. у = –12 + 1,5х = 1,5х – 12

Все три выражения имеют вид: y = kx + b. Такие функции называются линейными. Они содержат независимую переменную х в первой степени, не содержат дробей с переменной в знаменателе.

Внимание

Определение. Линейной называется функция, которая может быть задана формулой y = kx + b, где x – независимая переменная, а k и b – некоторые числа.

Число k называется угловым коэффициентом.

Например, среди зависимостей:

  1. I = 3p – 3
  2. S = –12t + 2
  3. r = –4k3
  4. v = –6m
  5. P = –2,5a + 15

линейными являются функции 1; 2; 4; 6.

Заметим, что функция y = kx – прямая пропорциональность – также является линейной функцией. Это частный случай с коэффициентом b = 0.

 

Теперь поработайте с материалами видеоурока «Линейная функция. Введение».Copywrit

Нажмите на значок Видео

Придумайте 3 примера зависимостей, которые описываются линейными функциями и обсудите свои примеры с учителем (можно на форуме или видеокомнате).

График линейной функции

Поработайте с материалами электронного образовательного ресурса «Линейная функция и ее график».

 

Рассмотрим, как можно получить график функции y = kx + b из графика функции y = kx.

Пример 4.

Рассмотрим две функции: у = 1,5х и у = 1,5х + 2.

Рассмотрим их значения при соответствующих значениях переменных:

у = 1,5х

х
–3
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
y = 1,5 x
–4,5
–3,75
–3
–2,25
–1,5
–0,75
0
0,75
1,5
2,25
3
3,75
4,5
y = 1,5x + 2
–2,5
–1,75
–1
–0,25
0,5
1,25
2
2,75
3,5
4,25
5
5,75
6,5

Видно, что все значения функции у = 1,5х + 2 на 2 больше, чем значения функции у = 1,5х. Это значит, что каждой точке графика функции у = 1,5х с координатами (x0; y0) соответствует точка с координатами (x0; y0 + 2) графика функции у = 1,5х + 2, то есть вся прямая сдвигается вверх на 2 единицы. Таким образом, графиком функции у = 1,5х + 2 является прямая, параллельная графику функции у = 1,5х (на рис. 2.– черные графики).

Аналогично рассмотрим функции у = –0,5х и у = –0,5х – 3.

х
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
у = –0,5х
2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
у = –0,5х – 3
–1
–1,5
–2
–2,5
–3
–3,5
–4
–4,5
–5

Видно, что все значения функции у = –0,5х – 3 на 3 больше, чем значения функции у = –0,5х. Это значит, что каждой точке графика функции у = –0,5х с координатами (x0; y0) соответствует точка с координатами (x0; y0 – 3) графика функции у = –0,5х – 3, то есть вся прямая сдвигается вниз на 3 единицы. Таким образом, графиком функции у = –0,5х – 3 является прямая, параллельная графику функции у = –0,5х (на рис. 2. – красные графики).

График
Рис. 2. Графики функций у = 1,5х, у = 1,5х + 2, у = -0,5х, у = –0,5х – 3

Теперь понятно, почему k называют угловым коэффициентом – он отвечает за угол наклона графика линейной функции.

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика линейной функции вдоль оси ОУ.

 

Поработав с материалами видеоурока «Линейная функция и ее график», познакомьтесь еще с одним подходом к введению понятия «линейная функция» и построению ее графика. Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Пример 5.

Построить график функции у = 4 – 2х.

Так как графиком линейной функции является прямая, то для его построения достаточно двух точек. Возьмем в данном случае точки пересечения графика с осями координат:

x
0
2
1
y
4
0
2

Третью точку берем для контроля.

Отмечая полученные точки на координатной плоскости и проводя через них прямую, мы получаем график линейной функции у = 4 – 2х.

График
Рис. 3. График функции у = 4 – 2х

Рассмотрим еще один пример.

Пример 6.

Построить график функции у = 3х – 2.

Для построения графика линейной функции необязательно брать в качестве точек точки пересечения прямой с осями координат. Иногда удобно брать произвольные точки. Найдем координаты двух точек, принадлежащих графику:

x
0
1
–1
y
–2
1
–5

Заметим, что третью точку мы взяли для контроля.

Отмечая полученные точки на координатной плоскости и проводя через них прямую, мы получаем график линейной функции у = 3х – 2.

График
Рис. 4. График функции у = 3х – 2

Рассмотрим еще один пример.

Пример 7.

Постройте график функции у = 3.

Эта функция является линейной. Это частный случай. Ее угловой коэффициент равен 0. При любых значениях х значения этой функции равны 3. Такая функция называется константа.

Ее график изображен на рисунке 5.

График
Рис. 5. График функции у = 3

 

Теперь потренируйтесь, поработав с материалами электронного образовательного ресурса «Линейная функция и ее график», а затем проверьте себя, выполнив задания электронного образовательного ресурса «Построение графика линейной функции».

Обсудите полученные результаты с учителем (можно на форуме или в видеокомнате).

Последнее изменение: Thursday, 8 December 2016, 18:25