Модуль 6. Какими свойствами обладает линейная функция?

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь со всеми свойствами линейной функции, которые зависят от ее коэффициентов.

Свойства линейной функции

Свойства каждой линейной функции y = kx + b зависят от ее коэффициентов k и b.

1. Область определения линейной функции.

В произвольном случае, когда линейная функция не является результатом анализа какой-либо реальной ситуации, ее областью определения является любое число, так как выражение y = kx + b не накладывает каких-то ограничений, и вместо х можно подставить любое значение.

2. Множество значений линейной функции.

Для ответа на этот вопрос вспомним, как выглядит график линейной функции при разных значениях k.

1) k ≠ 0

В этом случае можно найти две точки - пересечение графика функции с осями координат:

при х = 0 мы получаем y = b и точку (0; b)
если у = 0, то kx + b = 0 и  , точка

Таким образом, график функции пересекает и ось ОХ, и ось ОУ (см. рис. 1). Видно, что в этом случае множеством значения функции является множество всех чисел.

Кроме того, можно сказать в том случае, что все значения, которые принимает функция, различны, то есть при разных значениях аргумента мы будем получать разные значения функции.

График
Рис. 1. График функции у = kx + b, k ≠ 0

2) k = 0

В этом случае мы получаем функцию y = b. При любом значении х она принимает одно и то же значение, равное b. Поэтому множество ее значений состоит только из одного числа b.

3. Нули (корни) функции.

Их наличие также зависит от ее коэффициентов.

1) k ≠ 0

В этом случае у уравнения kx + b = 0 есть единственное решение  . Оно и является единственным нулем (корнем) функции.

2) k = 0 и b ≠ 0

В этом случае мы получаем функцию константу y = b. Так как b ≠ 0, то данная функция ни при каких обстоятельствах не обратиться в 0, а это означает, что нулей (корней) у нее нет.

3) k = 0, b = 0

В этом случае мы также получаем функцию константу у = 0. Это означает, что при любом значении х функция равна 0, то есть каждое число х из области определения является ее нулем (корнем).

Рассмотрим еще несколько свойств линейной функции.

4. Известно, что угловой коэффициент функции у = kx + b отвечает за наклон ее графика и за угол, который составляет прямая, которая является ее графиком, с положительным направлением оси ОХ:

при положительном значении коэффициента k – угол острый и большему значению аргумента соответствует большее значение функции, функция возрастает;
при отрицательном значении коэффициента k – угол тупой и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, функция убывает.

На рисунке 2. изображены графики двух линейных функций:

График
Рис. 2. Графики линейных функций с угловыми коэффициентами разных знаков

Угловой коэффициент линейной функции, соответствующей сиреневому графику, является положительным, при этом, чем больше значение углового коэффициента, тем быстрее изменяется функция; угловой коэффициент линейной функции, соответствующей голубому графику, является отрицательным, при этом, чем меньше значение углового коэффициента, тем быстрее изменяется функция.

На рисунке 3. изображены три графика функций с положительными угловыми коэффициентами (красный, зеленый и сиреневый). Самый большой угловой коэффициент у красного графика, меньше – у зеленого, самый маленький – у сиреневого.

Также на этом рисунке изображены три графика линейных функций с отрицательными угловыми коэффициентами (коричневый, голубой и синий). Самый маленький угловой коэффициент у коричневого графика, больше – у синего и самый большой – у голубого.

График
Рис. 3. Графики линейных функций

В том случае, когда k = 0, функция является постоянной.

5. Как видно из графика функции при k ≠ 0, она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. При этом свой знак она меняет в точке, которая является ее нулем (корнем)  .

При этом если коэффициент k > 0 (функция возрастает), то знак функции изменяется с «–» на «+» (см. сиреневый график функции на рис. 2)

График

если k < 0 (функция убывает), то знак функции изменяется с «+» на «–» (см. голубой график функции на рис. 2).

График

В том случае, когда k = 0, функция сохраняет свой знак, который совпадает со знаком коэффициента b, или равна 0, если b = 0 (см. рис. 3).

График
Рис. 4. Графики функций вида y = b при различных значениях b

На рисунке 3. изображены графики функций, которые являются постоянными: сиреневый при b > 0, зеленый – при b < 0, красный – при b = 0.

 

Теперь поработайте с заданиями электронных образовательных ресурсов «Линейная функция» и «Нахождение коэффициентов линейной функции, удовлетворяющих заданным условиям».

Результаты выполнения заданий обсудите с учителем на форуме или в видеокомнате.

 

Исследование линейной функции

Рассмотрим пример исследования конкретной линейной функции.

Пример 1.

Рассмотрим функцию y = –3x + 6.

1. Областью определения этой функции является любое число.

2. Так как k = –3 (k ≠ 0), то множеством значений этой функции также является множество всех чисел.

3. Нули (корни) функции.

Так как k ≠ 0, то функция имеет единственный корень. Для того чтобы найти его, решим уравнение –3x + 6 = 0.

–3x = –6
x = 2 – ноль (корень) функции.

4. Так как угловой коэффициент функции отрицательный, функция убывает (чем больше х, тем меньше у)

5. У этой функции угловой коэффициент отрицательный, поэтому знак функции в точке х = 2 меняется с «+» на «–»:

График

Таким образом, y > 0 при x < 2, y < 0 при x > 2.

 

Поработайте со второй частью видеоурока «Линейная функция и ее график». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Последнее изменение: Thursday, 8 December 2016, 18:36