Модуль 7. Взаимное расположение графиков линейных функций

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с различными случаями взаимного расположения графиков линейных функций и научитесь их распознавать.

Как могут располагаться графики линейных функций?

Вы уже знаете, что графиком линейной функции является прямая.

Каково может быть расположение двух прямых на плоскости?

  • Они могут пересекаться, то есть иметь единственную общую точку.
  • Они могут быть параллельны, то есть не иметь общих точек.
  • Они могут совпадать, то есть иметь бесконечно много общих точек.

Определим условия для каждого из этих случае.

Начнем с последнего случая: графики двух линейных функций совпадают. Очевидно, что в том случае, когда линейная функция задана уравнением y = kx + b, очевидным условием совпадения графиков этих функций будет совпадение коэффициентов k и b.

Понятно, что если уравнения обеих функций записаны в таком виде, установить совпадение их графиков легко. Однако в том случае, когда одна из функций или каждая функция записаны по-другому, необходимо преобразовать выражения.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Даны три функции:

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2)
(2) y = 3x2 – 3(x + 2)(x – 3) – 25
(3) y = 2x2 + 3x – 2x(x + 2)

Выясните, графики каких из них совпадают.

Решение:

1. Для начала выясним области определения каждой функции.

Так как ни одна из функций не включает дробей со знаменателями, содержащими переменную, областью определения каждой из них является любое число.

2. Преобразуем каждую из функций.

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2) = 2x + 3 – 5x – 10 = –3x –7
(2) y = 3x2 – 3(x – 2)(x + 3) – 25 = 3x2 – 3(x2 – 2x + 3x – 6) = 3x2 – 3x2 – 3x + 18 – 25 = –3x –7
(3) y = 2x2 + 3x – 2x(x + 2) = 2x2 + 3x – 2x2 – 4x = –x

В результате преобразований мы получили, что выражения для первой и второй функций совпадают. Это значит, что и графики функций (1) и (2) совпадают.

Теперь рассмотрим ситуацию параллельности графиков линейных функций.

Для этого рассмотрим пример.

Пример 2.

Выяснить взаимное расположение графиков линейных функций y = –2x + 3 и y = –2x – 1.

Найдем несколько пар точек, принадлежащих графикам этих функций, для соответствующих значений аргумента и занесем эти точки в таблицу:

x
–2
–1
0
1
2
3
y = –2x + 1
7
5
3
1
–1
–3
y = –2x – 2
3
1
–1
–3
–5
–7

Видно, что в каждой точке значение функции y = –2x – 1 на 4 единицы меньше, чем значение функции y = –2x + 3. Это значит, что каждой точке графика функции y = –2x + 3 с координатами (x0; y0) соответствует точка с координатами (x0; y0 – 4) графика функции y = –2x – 1, то есть вся прямая сдвигается вниз на 4 единицы. Таким образом, графиком функции y = –2x – 1 является прямая, параллельная графику функции y = –2x + 3 (см. рис.1.).

График
Рис. 1. Графики функций y = –2x – 1 (красный) и y = –2x + 3 (синий)

Таким образом, условием параллельности графиков функций:

y = k1x + b1 и y = k2x + b2 является: k1 = k2 и b1 ≠ b2.

 

Для того чтобы более подробно изучить вопрос с параллельностью прямых, поработайте с материалами видеоуроков. Copywrit

«Уравнение параллельной прямой»

Нажмите на значок Видео

«Параллельные прямые».

Нажмите на значок Видео

 

В тех случаях, когда k1 ≠ k2 графики линейных функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 не параллельны и не совпадают. Они пересекаются в единственной точке.

 

Теперь поработайте с материалами электронных образовательных ресурсов (ЭОР) «Взаимное расположение графиков линейных функций» (теоретический материал) и «Взаимное расположение графиков линейных функций» (практические задания).

 

Рассмотрим частный случай пересечения графиков линейных функций – их перпендикулярность – и выясним, какое условие должно выполняться для того, чтобы графики функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 были перпендикулярны.

Условием перпендикулярности прямых будет выполнение условия: k1 ∙ k2 = –1, то есть угловые коэффициенты прямых должны быть обратными по модулю числами с противоположными знаками.

Заметим, что с доказательством этого факта вы познакомитесь позже, в 9 классе.

 

Рассмотрите примеры решения задач, связанные с перпендикулярностью прямых, поработав в материалами видеоуроков. Copywrit

«Перпендикулярные прямые».

Нажмите на значок Видео

«Перпендикулярные прямые 2».

Нажмите на значок Видео

Решение задач

Прежде чем переходить к решению задач, изучите материалы видеоуроков. Copywrit

«Параллельные прямые 2».

Нажмите на значок Видео

«Параллельные прямые 3».

Нажмите на значок Видео

Пример 1.

Найдите координаты общих точек графиков функций.

а) y = 2x – 3(x + 2) и y = 5x + 6

Решение:

Выясним, как расположены графики функций. Для этого преобразуем первую функцию:

y = 2x – 3(x + 2) = 2x – 3x – 6 = –x – 6

Имеем функции y = –x – 6 и y = 5x + 6. Так как угловые коэффициенты этих функций не являются равными числами, то графики функций пересекаются в единственной точке (x0; y0).

Для того чтобы найти общую точку, нужно найти такую пару чисел (x0; y0), при подстановке которых и в первое, и во второе уравнение получатся верные числовые равенства. Или, рассуждая по-другому, ординаты графиков должны получиться одинаковые при равных значениях абсциссы.

То есть нужно решить уравнение: –x0 – 6 = 5x0 + 6, а затем найденное значение подставить в одно из уравнений для того чтобы найти значение ординаты.

Решая уравнение, получаем: –12 = 6x0 или –2 = x0 тогда y0 = –4. Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций y = –x – 6 и y = 5x + 6 является точка (–2; –4).

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 2.

График
Рис. 2. Графики функций y = –x – 6 (красный) и y = 5x + 6 (синий)

б) y = –2x + 3(x – 4) + 8 и y = 5x – 4(x – 1)

Решение:

Преобразуем данные функции:

y = –2x + 3(x – 4) + 8 = –2x + 3x – 12 + 8 = x – 4
y = 5x – 4(x – 1) = 5x – 4x + 4 = x + 4

Так как угловые коэффициенты данных функций совпадают, а свободные коэффициенты различны, то графики функций будут параллельны, то есть графики общих точек не имеют.

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 3.

График
Рис. 3. Графики функций y = x + 4 (красный) и y = x – 4 (синий)

в) y = –2x – 3(x – 1) и y = –5x + 3

Решение:

Преобразуем первую функцию:

y = –2x – 3(x – 1) = –2x – 3x + 3 = –5x + 3

В данном случае уравнения функций одинаковые, значит, графики функций совпадают. Поэтому эти графики имеют бесконечно много общих точек.

Пример 2.

Докажите, что график функции (1) y = 6x + 3(1 – 3x) всегда расположен выше графика функции (2) y = –x – 2(x + 2).

Решение:

Преобразуем данные функции.

y = 6x + 3(1 – 3x) = 6x + 3 – 9x = 3 – 3x = –3x + 3
y = –x – 2(x + 2) = –x – 2x – 4 = –3x – 4

После преобразований получили одинаковые угловые коэффициенты. Это значит, что графики функций параллельны. При этом свободный коэффициент функции (1) больше, чем свободный коэффициент функции (2). Это значит, что значения первой функции при равных значениях аргумента всегда будут больше, чем значения второй функции.

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 4.

График
Рис. 4. Графики функций y = –3x + 3 (красный) и y = –3x – 4 (синий)

Пример 3.

Докажите, что графики функций y = –2x + 3(x – 2) и y = –4x + 3 имеют единственную общую точку.

Решение:

Преобразуем первую функцию:

y = –2x + 3(x – 2) = –2x + 3x – 6 = x – 6

После преобразования получили, что угловые коэффициенты функций различны, поэтому графики функций пересекаются в единственной точке.

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 5.

График
Рис. 5. Графики функций y = x – 6 (красный) и y = –4x + 3 (синий)

 

Поработайте с материалами видеоурока «Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данной». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Пример 4.

Известно, что прямые a: y = –4x + 5 и b: y = kx + m перпендикулярны. Найдите коэффициенты прямой b, если известно, что она проходит через точку (–1; –5).

Решение:

Из условия перпендикулярности найдем угловой коэффициент прямой b. Известно, что для перпендикулярных прямых y = k1x +m1 и y = k2x + m2 их угловые коэффициенты связаны соотношением k1 ∙ k2 = –1. Поэтому –4k = –1. Откуда k = 0,25.

Теперь найдем значение коэффициента m, подставив координаты данной точки в уравнение прямой b: y(–1) = 0,25 ∙ (–1) + m = –5. Отсюда m = 5 – 0,25 = 4,75.

Уравнение прямой b имеет вид: у = 0,25х + 4,75.

Последнее изменение: Thursday, 8 December 2016, 18:43