Модуль 8. Линейная функция и реальные процессы. Линейная функция как модель

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с ситуациями и процессами, которые могут быть описаны линейной функцией.

Линейная функция как модель реальных процессов

Все реальные процессы, которые характеризуются постоянной скоростью изменения, могут быть описаны линейными функциями.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Познакомьтесь с материалами видеоурока «Прямо пропорциональные изменения». Copywrit

Нажмите на значок Видео

В рассмотренном примере зависимость расстояния, которое пролетает астероид в открытом космосе, от времени выражается формулой: S = 500t, где t – время, выраженное в часах, S – расстояние, выраженное в километрах, 500 – константа изменения, коэффициент пропорциональности, фактически – скорость его движения.

Пример 2.

В первый день похода, двигаясь по равнине, группа туристов прошла 21 км. Все остальные дни группа передвигалась в горах и средняя скорость движения группы в составляла 12 км/день. Выразите с помощью функции зависимость пути, пройденного туристами от количества дней проведенных в походе, и ответьте на вопросы:

      1. Сколько километров преодолеют туристы за 9 дней?
      2. Сможет ли группа преодолеть путь 100 км за 6 дней?
      3. На какой похода туристы достигнут цели похода, если для ее достижения необходимо проделать путь 150 км?

Составим таблицу значений пройденного пути в зависимости от количества дней:

t
1
2
3
4
5
t
S
21
21 + 12 ∙ 1 = 33
21 + 12 ∙ 2 = 45
21 + 12 ∙ 3 = 57
21 + 12 ∙ 4 = 69
21 + 12(t – 1)

Вы видите, что для произвольного значения t зависимость пройденного пути от количества дней может быть выражена следующей формулой: S(t) = 21 + 12(t – 1). Преобразуем выражение: S(t) = 12t + 9.

Получили линейную функцию, записанную в виде: y = kx + b.

Независимая переменная – время движения, выраженное в днях, зависимая переменная – путь, выраженный в километрах. Коэффициент при независимой переменной – средняя скорость дневного движения группы.

Теперь ответим на вопросы:

  1. Для того чтобы узнать, сколько километров преодолеют туристы за 9 дней, подставим t = 9 и получим: S(9) = 12 ∙ 9 + 9 = 117 км.
    Ответ: 117 км.
  2. Для того чтобы ответить на второй вопрос, подставим в формулу t = 6 и получим: S(6) = 12 ∙ 6 + 9 = 81 км. Таким образом, за 6 дней группа пройдет 81 км, поэтому путь в 100 километров она не преодолеет.
    Ответ: нет.
  3. Для ответа на третий вопрос нужно ответить, за сколько дней туристы пройдут 150 или больше км, то есть нужно решить неравенство: 12t + 9 ≥ 150.

Решая это неравенство, получаем: t ≥ 11,75. Это означает, что цели похода туристы достигнут на 12-й день.
Ответ: на 12-й день.

Пример 3.

В апельсиновой роще 1050 деревьев. В период созревания апельсинов организуется их сбор. В первый день были собраны апельсины с 83 деревьев. Во второй – с 79. Каждый следующий день апельсины собирались в среднем с 75 деревьев. Составьте зависимость количества апельсиновых деревьев N, оставшихся с плодами, от количества дней m, и ответьте на вопросы:

      1. Сколько деревьев будет убрано за 8 дней?
      2. Успеют ли убрать урожай за 2 недели?
      3. Какое наименьшее количество дней понадобиться, чтобы собрать весь урожай?

Составим таблицу значений количества оставшихся деревьев в зависимости от количества дней:

m
1
2
3
4
m
N
1050 – 83 = 967
967 – 79 = 888
888 – 75 ∙ 1 = 813
888 – 75 ∙ 2 = 738
888 – 75(m – 2)

Вы видите, что для произвольного значения m зависимость количества оставшихся деревьев от количества дней может быть выражена следующей формулой:

N(m) = 888 – 75(m – 2). Преобразуем выражение: N(m) = 888 – 75m + 150 = 1038 – 75m.

Получили линейную функцию, записанную в виде: y = kx + b.

Независимая переменная – время уборки, выраженное в днях, зависимая переменная – количество убранных деревьев. Коэффициент при независимой переменной – средняя скорость уборки.

Теперь ответим на вопросы:

  1. Сколько деревьев будет убрано за 8 дней?
    Для ответа на этот вопрос подставим в формулу m = 8: N(8) = 1038 – 75 ∙ 8 = 438.
    Ответ: 438 деревьев.
  2. Успеют ли убрать урожай за 2 недели?
    Подставим в формулу m = 14: N(14) = 1038 – 75 ∙ 14 = –12 деревьев. Отрицательный результат показывает, что за 14 дней могло быть убрано на 12 деревьев больше, чем необходимо. Поэтому за две недели весь урожай будет убран.
    Ответ: да.
  3. Какое наименьшее количество дней понадобиться, чтобы собрать весь урожай?
    Результат, полученный при ответе на предыдущий вопрос, показывает, что 14 дней – это именно то наименьшее количество дней, которое необходимо для уборки всего урожая.
    Ответ: 14 дней.

Во всех рассмотренных примерах линейная функция является моделью рассматриваемого процесса.

 

Для знакомства с понятием «математическая модель», поработайте с материалами видеоурока «Математическая модель». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Пример 4.

Известно, что сумма числителя и удвоенного знаменателя некоторой дроби равна 12.

Найдите зависимость значения числителя этой дроби от знаменателя и ответьте а вопросы:

      1. При каком значении знаменателя числитель будет равен 15?
      2. При каком значении числителя знаменатель будет равен –45?
      3. Можно ли найти наименьшее значение числителя этой дроби? а знаменателя?

Пусть х – значение знаменателя, у – значение числителя данной дроби. Нам известно, что 2х + у = 12. Выразим значение у: у = 12 – 2х. Получили линейную функцию, в которой в качестве независимой переменной выступает значение знаменателя, а в качестве зависимой переменной – значение числителя. Угловой коэффициент задан условием задачи.

Ответим на вопросы:

  1. Подставим в формулу х = 15, получим: y = 12 – 2 ∙ 15 = 12 – 30 = –18.
    Ответ: при значении знаменателя –18.
  2. Подставим в формулу y = –45, получим: –45 = 12 – 2x. Решая его, получаем x = 28,5.
    Ответ: при значении числителя 28,5.
  3. Зависимость описывается линейной функцией, областью определения которой является любое число, за исключением 0 (Почему?), а множеством значения – все числа, кроме 12 (Почему?). Поэтому ни наибольшего, ни наименьшего значения числителя и знаменателя этой дроби найти нельзя.

Пример 5.

Клиент положил в банк 10000 рублей, на которые начисляются ежемесячно 0,5%. Сумма вклада вычисляется по формуле простых процентов. Выразите зависимость суммы вклада от времени и ответьте на вопросы:

      1. Какова будет сумма вклада через 3,5 года?
      2. Через сколько лет сумма вклада может увеличиться в 1,5 раза?

Так как проценты простые, то можно фиксировать ежемесячную сумму, на которую увеличивается вклад. Она равна 50 рублей.

Составим таблицу значений суммы вклада от времени:

n
1
2
3
4
n
S
10000 + 50 ∙ 1
10000 + 50 ∙ 2
10000 + 50 ∙ 3
10000 + 50 ∙ 4
10000 + 50 ∙ n

Видно, что для произвольного значения n зависимость величины вклада от времени выражается формулой: S(п) = 10000 + 50n. Здесь n – количество времени, выраженное в месяцах, S – сумма вклада, выраженная в рублях.

Получили линейную функцию, записанную в виде: y = kx + b.

Независимая переменная – время вклада, выраженное в месяцах, зависимая переменная – сумма вклада. Коэффициент при независимой переменной – средняя коэффициент увеличения суммы вклада, зависящий от величины процента.

Теперь ответим на вопросы:

  1. Подставим в формулу n = 3,5 ∙ 12 = 42. S(42) = 10000 + 50 ∙ 42 = 12100 рублей.
    Ответ: 12100 рублей.
  2. Для ответа на следующий вопрос понимаем, что сумма вклада должна стать равной 15000. Подставим это значение в формулу вместо S. Получаем уравнение:
    15000 = 10000 + 50n. Решая его, получаем n = 100. Это время, выраженное в месяцах. Выражая его в годах, получаем 8лет и 4 месяца.
    Ответ: 8 лет 4 месяца.

 

Для повторения этапов работы с сюжетной задачей поработайте с материалами видеоурока «Математическая модель и текстовые задачи». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Решим следующую задачу.

Задача.

Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 90 км. На шахте А добывают 300 т руды в сутки, а на шахте В – 150 т руды в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение:

Под тонно-километрами понимается количество тонн руды (к), перевезенное на определенное количество километров (у). Таким образом, количество тонно-километров равно произведению ку.

Предположим:

  1. Завод строится на шоссе, в некоторой точке С. То есть сумма расстояний АС + ВС = 90.
  2. Все количество руды, добытое в шахтах, подлежит переработке на этом заводе.

Очевидно, что суммарное количество тонно-километров зависит от расположения завода на шоссе.

Обозначив расстояние АС = х, получим формулу, выражающую количество тонно-километров:
300х + 150(90 – х) = 150х + 13500. Таким образом, мы получили функцию зависимости количества тонно-километров от удаленности завода от шахты А.

Полученная функция является монотонно возрастающей и определена на отрезке [0; 90]. Поэтому наименьшее свое значение она принимает на левом конце области определения, то есть при х = 0. Значит, наименьшее количество тонно-километров равно 13500. Завод нужно строить около шахты А.

Последнее изменение: Четверг, 8 Декабрь 2016, 18:47