Модуль 1. Точка. Прямая. Отрезок. Измерение отрезков

Цели занятия: На этом занятии вы получите возможность актуализировать свои знания о простейших геометрических фигурах: точке, прямой, луче, отрезке, вспомнить, как измеряются отрезки, а также узнаете некоторые новые для вас геометрические факты.

Точка. Прямая. Отрезок. Аксиомы геометрии

Для первого знакомства с геометрией поработайте с материалами видеоурока «Прямая и отрезок». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Таким образом, вы должны знать несколько фактов:

  1. Геометрия – наука об измерении земли, дословно – «землемерие».
  2. Геометрия – одна из самых древних наук на земле, она возникла примерно за 300 лет до нашей эры.
  3. Геометрия подразделяется на два раздела: планиметрия – геометрия на плоскости, и стереометрия – геометрия в пространстве.
  4. Геометрия изучает геометрические фигуры и их свойства.
  5. Примерами плоских геометрических фигур являются треугольник, прямоугольник, окружность, круг и т.д.; примерами пространственных фигур являются параллелепипед, шар, конус, цилиндр и т.д.
  6. Простейшими, неопределяемыми геометрическими понятиями являются точка и прямая. Они не имеют размеров.
  7. Точки обозначают большими буквами латинского алфавита, прямые могут обозначаться маленькими буквами латинского алфавита.
  8. Геометрия строится на основных неопределяемых понятиях и на аксиомах, в которых фиксированы отношения простейших фигур.

 

Для того чтобы познакомиться с первыми аксиомами, поработайте со второй частью видеоурока «Прямая и отрезок». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Таким образом, вы должны знать следующие аксиомы:

Аксиома 1: каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки (рис. 1).

Рисунок
Рис. 1. Иллюстрация Аксиомы 1

Аксиома 2: имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой (рис.2).

Рисунок
Рис. 2. Иллюстрация Аксиомы 2

Аксиома 3: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Тот факт, что точка А лежит на прямой с фиксируется знаком принадлежности: А∈с. Если точка не принадлежит прямой с, то это записывается так: D∉c.

 

Теперь выполните задания практического электронного образовательного ресурса «Точки и прямые плоскости».

 

Аксиома 4: из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими (рис. 3).

Рисунок
Рис. 3. Иллюстрация Аксиомы 4

На рисунке отмечены три точки: А, В и D. Точка А лежит между точками В и D.

Эти точки, лежащие на прямой, образуют несколько новых фигур – отрезков.

Внимание

Отрезком АВ называется геометрическая фигура, состоящая из точек А, В и всех точек прямой, расположенных между точками А и В.
Кратко – отрезок – это часть прямой, ограниченная точками А и В.
Точки А и В называют концами отрезка.

На рисунке 3 изображены три отрезка: АВ, DA и DB.

Можно выделить несколько случаев взаимного расположения прямой и отрезка.

Рисунок 3 иллюстрирует случай, когда отрезок, например, АВ лежит на прямой, в этом случае отрезок и прямая имеют бесконечно много общих точек – это все точки отрезка АВ.

Рисунок 4 иллюстрирует другой случай: отрезок и прямая не имеют общих точек.

Рисунок
Рис. 4. Отрезок СЕ и прямая а не имеют общих точек

В этом случае точки С и Е лежат по одну сторону от прямой а.

Рисунок 5 иллюстрирует еще один случай: отрезок пересекает прямую. В этом случае отрезок и прямая имеют единственную общую точку, а концы отрезка CD лежат по разные стороны от прямой b.

Рисунок
Рис. 5. Отрезок и прямая имеют единственную общую точку:
отрезок СD пересекает прямую b
Рисунок
Рис. 6. Отрезок и прямая имеют единственную общую точку:
один из концов отрезка MN (точка М) лежит на прямой c

 

Теперь поработайте со последней частью видеоурока «Прямая и отрезок». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Итак, вы познакомились с первой теоремой: две разные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Также вы рассмотрели доказательство этой теоремы.

Выполните задания.

Если у вас возникнут вопросы, задайте их учителю на форуме или видеокомнате.

    1. Запишите доказательство теоремы.
    2. Запишите еще две аксиомы, сформулированные в материалах видеоурока.

 

Рассмотрим пример выполнения задания.

Пример 1.

На рисунке изображена прямая с и шесть точек.

Рисунок
Рис. 7. Прямая и точки

Сколько всего отрезков изображено на прямой? Назовите эти отрезки.

Решение:

Сначала запишем все отрезки.

    1. Начнем с отрезков, одним из концов которых является точка А.
      Итак, это отрезки АВ, АС, АЕ, AD, AF. Их всего 5.
    2. Теперь перечислим отрезки, одним из концов которых является точка В.
      Это отрезки ВЕ, ВС, BD и BF. Их 4. Мы не включили сюда отрезок АВ, так как мы записали его в первом пункте.
    3. Продолжим записывать отрезки. И теперь перечислим отрезки с концом в очке С, за исключением тех, которые мы уже записали.
      Это отрезки СЕ, CD и CF. Их 3.
    4. Теперь запишем оставшиеся отрезки: сначала с концом в точке Е – ED и EF, и наконец, в точке F – FD.
      Таким образом, получили 15 отрезков.

Пример 2.

Сколько точек можно провести через 4 точки: А, В, С и К, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Решение:

Будем рассуждать так же, как и в предыдущем задании.

    1. Сначала провеем все прямые, проходящие через точку А: это прямые АВ, АС и АК.
    2. Теперь проведем все прямые, проходящие через точку В, за исключением прямой АВ, так ее мы уже учли в первом пункте. Это прямые ВС и ВК.
    3. Осталась одна прямая СК.

Всего таких прямых проведено 6.

На рисунке 8 изображены 4 точки и прямые, проведенные через них.

Рисунок
Рис. 8. Иллюстрация к примеру 2

Измерение отрезков

Вы знаете, что длину отрезка можно измерить при помощи линейки с делениями.

Узнайте о свойствах длины отрезка, поработав с материалами видеоурока «Измерение отрезков». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Рассмотрим еще пример решения задачи.

Пример 3.

На прямой отмечены четыре точки: А, В, С и D произвольным образом. Известно, что длина отрезка АВ равна 10 см, BD = 12 см, CD = 6 см. Какой может быть длина отрезка АС?

Решение:

Рассмотрим возможные случаи расположения точек на прямой.

Случай 1 изображен на рисунке 9.

Рисунок
Рис. 9. Первый случай взаимного расположения точек А, В, С и D на прямой

Видно, что в этом случае длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС.

Длина отрезка BD равна сумме длин отрезков BC и СD. Поэтому длина отрезка ВС = 12 – 6 = 6 см. То есть АС = 16 см.

Случай 2 изображен на рисунке 10.

Рисунок
Рис. 10. Второй случай взаимного расположения точек А, В, С и D на прямой

В этом случае длина отрезка АС равна разности длин отрезков АВ и ВС, то есть длина отрезка АС = 10 – 6 = 4 см.

 

Рассмотрите еще примеры решения задач, поработав со второй частью видеоурока «Измерение отрезков». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Закрепите свои знания, поработав с материалами электронного образовательного ресурса «Прямая и луч. Отрезок и его длина».

 

Изображая отрезки, последовательно присоединяя каждый следующий к концу предыдущего, получают ломаную.

Рисунок
Рис. 11. Ломаная АВСDMNF

Ломаная, изображенная на рисунке 11, состоит из шести звеньев.

 

Теперь поработайте с заданиями практического электронного образовательного ресурса «Равенство отрезков. Длина отрезка и ее свойства. Ломаная», а затем проверьте себя, выполнив контрольные задания электронного образовательного ресурса «Основные понятия геометрии. Равенство отрезков. Длина отрезка и ее свойства».

 

Внимание

Таким образом, равными называются отрезки, которые имеют одинаковую длину.
Если точка А лежит между точками В и С, то длина отрезка ВС равна сумме длин отрезков АВ и АС.

Последнее изменение: Monday, 12 December 2016, 20:51