Модуль 4. Вертикальные и смежные углы. Перпендикулярные прямые

Цели занятия: На этом занятии вы узнаете, какие углы называются вертикальными и смежными, а также как определяется перпендикулярность прямых.

Вертикальные и смежные углы

Для первого знакомства с понятиями «смежные углы» и «вертикальные углы» поработайте с материалами видеоурока «Смежные и вертикальные углы». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Из материалов видеоурока вы узнали несколько новых понятий и фактов, которые с ними связаны.

Внимание

Смежными углами называются два угла, одна сторона у которых общая, а две других дополняют друг друга до прямой.

На рисунке 1 изображены смежные углы СОА и ВОС.

Рисунок
Рис. 1 Смежные углы

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 1800.

Доказательство этой теоремы очень простое.

Так как смежные углы образуют развернутый угол, то их сумма равна градусной мере развернутого угла, а она равна 1800: ∠АОС + ∠СОВ = ∠АОВ.

Внимание

Вертикальными называются углы, стороны которых являются продолжением сторон друг друга.

На рисунке 2 изображены вертикальные углы: BOA и COD, DOC и DOA.

Рисунок
Рис. 2. Вертикальные углы

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство этой теоремы также не очень сложное.

Рассмотрим вертикальные углы ВОА и СОD. Докажем, что они равны.

Так как ∠BOA и ∠BOC являются смежными, то ∠BOA + ∠BOC = 1800.

Аналогично: ∠DOC + ∠BOC = 1800. Таким образом:
BOA = 1800 – ∠BOC и ∠DOC = 1800 – ∠BOC, то есть равны оному и тому же значению. То есть они равны. Ч. и т. д.

 

Поработав с материалами второй части видеоурока «Смежные и вертикальные углы», вы узнаете, какие следствия могут быть получены из определения и теорем о смежных и вертикальных углах. Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Итак, вы должны знать два следствия.

Следствие 1. Угол между биссектрисами смежных углов равен 900.

На рисунке 3 изображена иллюстрация следствия 1.

Рисунок
Рис. 3. Биссектрисы смежных углов

Задание 1.

Запишите доказательство Следствия 1 в своих тетрадях.

Следствие 2. Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 1800. То есть биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол.

На рисунке 4 изображена иллюстрация следствия 2.

Рисунок
Рис. 4. Биссектрисы вертикальных углов

Задание 2.

Запишите доказательство Следствия 2 в своих тетрадях.

Теперь, зная всего несколько фактов, вы сможете решать простейшие задачи, связанные с поиском углов.

Примеры таких задач вы найдете, поработав с материалами последней части видеоурока «Смежные и вертикальные углы». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Задание 3.

Запишите примеры задач из видеоурока в своих тетрадях.

Рассмотрим еще примеры задач.

Пример 1.

Найдите значения смежных углов, если один из них больше другого в 5 раз.

Решение:

Пусть углы  и  смежные.

Нам известно, что сумма смежных углов равна  .

Запишем равенство для наших углов:  . Пусть  .

Тогда получаем:  ,  . Отсюда  , тогда второй угол равен  .

Ответ:  и  .

Пример 2.

Найдите значения смежных углов, если один из них больше другого на  .

Решение:

Пусть углы  и  смежные.

Запишем равенство для наших углов:  . Пусть  .

Тогда получаем:  ,  . Отсюда  , тогда второй угол равен  .

Ответ:  и  .

Пример 3.

На рисунке 5 изображены углы. Известно, что ∠АОВ на 400 меньше ∠СОА. Найдите ∠СОК, если известно, что ОКбиссектриса СОМ.

Рисунок
Рис. 5. Иллюстрация к Примеру 3

Решение:

    1. Так как ОК биссектриса  , то  .
    2.   как вертикальные.
    3.  , так как они смежные.
    4. По условию  .
    5. из 3. и 4. имеем:  , отсюда  , значит,  .
    6.  .

Ответ:  .

Перпендикулярные прямые

Для того чтобы узнать, какие прямые называются перпендикулярными, поработайте с материалами видеоурока «Перпендикулярные прямые». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Таким образом, вы должны знать следующее:

Внимание

Определение 1. Перпендикулярными называются прямые, при пересечении которых образуются четыре равных угла.

В этом случае каждый из углов равен 900. Поэтому можно сформулировать определение перпендикулярных прямых следующим образом:

Внимание

Определение 2. Перпендикулярными называются прямые, которые при пересечении образуют угол, равный 900.

На рисунке 6 изображены перпендикулярные прямые a и b.

Рисунок
Рис. 6. Перпендикулярные прямые

Перпендикулярность прямых обозначают специальным знаком: a b, а на чертеже используют значок: ∟ (см. рисунок 6).

Теорема. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Задание 4.

Запишите доказательство этой теоремы, сделав чертеж.

Рассмотрим пример решения задачи, использующей понятие перпендикулярных прямых.

Пример 4.

Известно, что AB ⊥ CD, AB ∩ CD = O. ОК – биссектриса АОС, ОМбиссектриса КОС. Найдите величину ∠АОМ.

Решение:

Построим чертеж (рисунок 7).

Рисунок
Рис. 7. Иллюстрация к Примеру 4
    1. Так как  , то  .
    2. Так как ОК – биссектриса  , то  .
    3. Так как ОК – биссектриса  , то  .
    4.  .

Ответ:  .

 

Рассмотрите еще примеры решения задач по теме, поработав с материалами водеоурока «Решение задач». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Поработав с материалами электронных образовательных ресурсов «Перпендикуляр к прямой» и «Построение перпендикуляра к прямой с помощью циркуля и линейки», познакомьтесь с понятием перпендикуляра к прямой и методом его построения.

А теперь проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса «Виды углов. Вертикальные и смежные углы и их свойства. Перпендикулярные прямые».

Рассмотрите решение более сложных задач, поработав с материалами видеоурока «Решение более сложных задач». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Последнее изменение: Monday, 12 December 2016, 21:24