Модуль 5. Треугольник. Первый признак равенства треугольников

Цели занятия: На этом занятии вы вспомните понятие «треугольник», узнаете, какие треугольника называются равными и с помощью какого признака можно определить, являются ли два треугольника равными.

Треугольник. Равенство треугольника

Понятие «треугольник» вам хорошо знакомо.

Актуализируйте ваши знания об этом понятии, поработав с материалами видеоурока «Треугольники». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Таким образом, вы знаете, что:

Внимание

Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками (рис.1).

Треугольник имеет три вершины, три угла и три стороны.

Рисунок
Рис. 1 Треугольник АВС

Для обозначения треугольника использую специальный символ: ∆. На рисунке 1 изображен ∆АВС.

Внимание

Отрезки АВ (c), ВС (a) и АС (b) – стороны треугольника. Точки А, В и Свершины треугольника. ∠ВАС (α), ∠АВС (β), ∠АСВ (γ), – углы треугольника.

Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Для обозначения периметра часто используют букву Р: РАВС = АВ + ВС + АС.

Можно выделить несколько видов треугольников, в зависимости от того, сколько у треугольника равных сторон:

  • разносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого различны;
  • равнобедренный треугольник – треугольник, у которого ровно две равные стороны;
  • равносторонний (или правильный) треугольник – треугольник, все стороны которого равны.

На рисунке 2 изображены разносторонний, равнобедренный и равносторонний треугольники.

Рисунок
Рис. 2. Виды треугольников по количеству равных сторон

АВС – разностронний; ∆МКО – равнобедренный; ∆ХТР – равносторонний (правильный).

Кроме того, выделяют виды треугольников по величине наибольшего угла:

  • остроугольные треугольники – все углы которого острые (меньше 900);
  • прямоугольные треугольники – один из углов которого прямой (равен 900);
  • тупоугольные треугольники – один из углов которого тупой (больше 900).

На рисунке 3 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.

Рисунок
Рис. 3. Виды треугольников по величине большего угла

АКМ – остроугольный; ∆ВТО – прямоугольный; ∆ХСР – тупоугольный.

Так же, как и для других геометрических фигур, для треугольников вводится понятие равенства:

Внимание

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Если два треугольника равны, то все соответствующие элементы в них также равны.

Рисунок
Рис. 4. Равные треугольники

На рисунке 4 изображены равные треугольники: ∆АВС = ∆МКТ.
Соответственные стороны равны: АВ = МК; АС = МТ; ВС = КТ.
Соответственные углы равны: ∠А = ∠М; ∠В = ∠К; ∠С = ∠Т.

Таким образом, можно сформулировать следующие утверждения.

  1. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.
  2. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

 

Теперь рассмотрите примеры решения задач, поработав с материалами второй части видеоурока «Треугольники». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Первый признак равенства треугольников

Когда требуется определить, являются ли два треугольника равными, определением равных фигур пользоваться неудобно. И проверять попарное равенство всех элементов двух треугольников также неудобно, а часто просто невозможно. Поэтому для того, чтобы выяснить, являются ли треугольники равными, используются признаки равенства треугольников.

Оказывается, для того чтобы ответить на вопрос, являются ли два треугольника равными, достаточно найти три равных соответственных элемента.

Теорема (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равен двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

С доказательством этого признака познакомьтесь, поработав с материалами видеоурока «Первый признак равенства треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Задание 1.

Сделайте чертеж, иллюстрирующий данное утверждение. Запишите доказательство этой теоремы в свои тетради.

Заметим, что в формулировке признака очень важным является то, что равные углы в треугольниках должны быть обязательно между равными сторонами.

На рисунке 5 изображены два треугольника, которые имеют по две равные стороны и по одному равному углу. Но, поскольку равный угол в одном из треугольников расположен не между равными сторонами, данные треугольники оказываются совсем не равными.

Рисунок
Рис. 5. Неравные треугольники с равными элементами

 

Рассмотрите примеры решения задач, поработав с материалами второй части видеоурока «Первый признак равенства треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Рассмотрим пример задачи.

Пример 1.

В треугольнике АМС МН ⊥ АС, а точка Н – середина стороны АС. Найдите длину сторона АМ, если МС = 12 см.

Решение:

Изобразим наш треугольник (рисунок 6).

  1. По условию МН ⊥ АС, поэтому ∠АНМ = ∠МНС = 900 (так как углы АНМ и ∠МНС – смежные и их сумма равна 1800)
  2. По условию точка Н – середина стороны АС, поэтому АН = НС.
  3. Рассмотрим треугольники АНМ и МСН в них: МН – общая, АН = НС и ∠АНМ = ∠МНС. Таким образом, выполнено условие первого признака равенства треугольников. Поэтому эти треугольники равны: ∆АНМ = ∆МНС.
  4. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то есть АМ = МС как стороны, лежащие напротив равных углов ∠АНМ = ∠МНС.
Рисунок
Рис. 6. Иллюстрация к Примеру 1

Таким образом, АМ = МС = 12 см.

Ответ: АМ = 12 см

 

Рассмотрите несколько примеров решения задач на основе использования первого признака равенства треугольников, поработав в материалами видеоурока «Решение задач по теме «Первый признак равенства треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Из приведенного второго примера вы узнали важный факт, который будет часто использоваться в дальнейшем при решении задач.

Внимание

Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через его середину и перпендикулярная ему.

Свойство. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Пример 2.

Отрезки АВ и СЕ пересекаются в своей середине О. Докажите, что ∠АЕО = ∠ОСВ. Найдите периметр треугольника АОЕ, если АВ = 10 см, СЕ = 12 см, СВ = 7 см.

Решение:

Сделаем чертеж (рисунок 7.1).

Рисунок
Рис. 7.1. Иллюстрация к Примеру 2

Достроим наш чертеж в соответствии с требованием задачи (рисунок 7.2).

Рисунок
Рис. 7.2. Иллюстрация к Примеру 2

Рассмотрим треугольники АОЕ и СОВ.

  1. Так как точка О – середина отрезков АВ и СЕ, то АО = ОВ и СО = ОЕ.
  2. АОЕ = ∠ВОС, так как они вертикальные.
  3. АОЕ = ∆ВОС по двум сторонам и углу между ними.
  4. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то есть ∠АЕО = ∠ОСВ как углы равных треугольников, лежащие напротив равных сторон АО = ОВ, ч. и т. д.
  5. Периметр треугольника – это сумма всех его сторон.

РАОЕ = АО + ОЕ + АЕ. АО = АВ = 5см, ЕО =  СЕ = 6см, АЕ = СВ = 7см как стороны, лежащие напротив равных углов ∠АОЕ = ∠ВОС.

Значит, Р∆АОЕ = 5 + 6 + 7 = 18 см.

Ответ: РАОЕ = 18 см.

 

Рассмотрите еще два примера решения задач на основе использования первого признака равенства треугольников, поработав в материалами видеоурока «Решение задач по теме «Первый признак равенства треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Пример 3.

На сторонах угла АЕВ отмечены точки М и Т так, что А лежит на отрезке МЕ, В лежит на отрезке ТЕ, причем ТЕ = МЕ и АМ = ВТ. Докажите, что ∠ЕМВ = ∠ЕТА.

Решение:

Сделаем чертеж (рисунок 8).

  1. АЕ = МЕ – АМ, ЕВ = ТЕ – ВТ. Так как ТЕ = МЕ и АМ = ВТ, то АЕ = ЕВ.
  2. Рассмотрим треугольник МЕВ и ТЕА. В них: ЕМ = ТЕ по условию, АЕ = ЕВ (п.1), угол МЕТ – общий. Поэтому треугольники МЕВ и ТЕА равны по первому признаку.
  3. ∠ЕМВ = ∠ЕТА как углы равных треугольников, лежащие напротив равных сторон АЕ = ЕВ, ч. и т. д.
Рисунок
Рис. 8. Иллюстрация к Примеру 3

 

Рассмотрите еще один пример решения задачи на основе использования первого признака равенства треугольников, поработав в материалами видеоурока «Решение задач по теме «Первый признак равенства треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

А теперь потренируйтесь в решении задач на применение первого признака равенства треугольников, выполнив задания практического электронного образовательного ресурса «Применение первого признака равенства треугольников», а затем проверьте, как вы умеете решать задачи на применение этого признака, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса «Первый признак равенства треугольников».

Последнее изменение: Monday, 12 December 2016, 21:35