Модуль 6. Медианы, высоты и биссектрисы треугольника и их свойства

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с такими понятиями как перпендикуляр к прямой, медиана треугольника, высота треугольника и биссектриса треугольника, а также узнаете, какими интересными свойствами они обладают.

Перпендикуляр к прямой

Прежде чем переходить к рассмотрению основного материала занятия, сформулируем определение нового понятия «перпендикуляр к прямой».

Внимание

Определение. Отрезок ВН называется перпендикуляром к прямой а, если прямые ВН и а перпендикулярны и точка Н принадлежит прямой а. То есть ВН ⊥ a и Н ∈ a.

Теорема. Из точки, не лежащей не данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.

С доказательством этой теоремы познакомьтесь, поработав с материалами видеоурока «Перпендикуляр к прямой». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Задание 1.

Запишите доказательство этого факта к себе тетрадь. Если у вас возникли вопросы, сформулируйте и задайте их учителю на форуме или в видеокомнате.

Рассмотрите примеры решения задач, поработав с материалами второй части видеоурока «Перпендикуляр к прямой». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Рассмотрим еще один пример решения задачи.

Пример 1.

Точки В и М лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры ВН и МК, опущенные их этих точек на прямую а, равны. Докажите, что отрезки МН и ВК равны.

Решение:

Выполним чертеж (рисунок 1).

  1. МК ⊥ КН,ВН ⊥ КН, так как по условию МК и ВН являются перпендикулярами к прямой а, на которой лежат точки К и Н.
  2. Рассмотрим треугольники МКН и ВКН. В них:
    • сторона КН является общей;
    • МК = ВН по условию;
    • ∠МКН = ∠ВНК = 900.

    Эти треугольники равны по первому признаку.

Рисунок
Рис. 1. Иллюстрация к Примеру 1
  1. Так как треугольники равны, то и соответственные стороны в них равны, то есть МН = ВК, ч. и т. д.

Медианы, высоты и биссектрисы треугольника

В треугольнике можно провести несколько разных отрезков, обладающих специальными свойствами.

Познакомьтесь с этими отрезками, поработав с материалами видеоурока «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Таким образом, вы должны знать следующие определения:

Внимание

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рисунок 2).

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центр тяжести.

Рисунок
Рис. 2. Медианы треугольника
Внимание

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны (рисунок 3).

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рисунок
Рис. 3. Биссектрисы треугольника
Внимание

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону (рисунок 4).

Все три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентр.

Рисунок
Рис. 4. Высоты треугольника КМТ (остроугольного) и АВС (тупоугольного)

Поработайте с материалами электронного образовательного ресурса «Пересечение высот треугольника. Исследовательская задача».

 

Познакомьтесь с примерами решения задач, поработав с материалами второй части видеоурока «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Рассмотрим еще один пример решения задачи.

Пример 2.

В треугольнике АВС медиана ВМ является его высотой. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Решение:

  1. Рассмотрим треугольники АМВ и СМВ. В них:
    • сторона ВМ является общей;
    • М – середина стороны АС, так как ВМ по условию является медианой, то есть АМ = МС;
    • АМВ = ∠ВМС = 900, так как ВМ по условию является высотой.

    АМВ=∆СМВ по двум сторонам и углу между ними.

  2. Так как ∆АМВ = ∆СМВ, то АВ = ВС как соответственные стороны в равных треугольниках.
Рисунок
Рис. 5. Иллюстрация к Примеру 2

Значит, ∆АВС равнобедренный по определению. ч. и т. д.

 

Закрепите полученные знания, поработав с электронным образовательным ресурсом «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника».

 

Кроме рассмотренных отрезков рассмотрим еще один.

Внимание

Серединным перпендикуляром треугольника называется прямая, проходящая через середину его стороны перпендикулярно ей (рисунок 6).

Все три серединных перпендикуляра в треугольнике пересекаются в одной точке.

Рисунок
Рис. 6. Серединные перпендикуляры треугольника

 

Потренируйтесь в решении задач, выполняя задания практического электронного образовательного ресурса «Треугольник и его элементы».

 

Свойства равнобедренного треугольника

Как вы знаете, равнобедренным называется треугольник, две стороны которого равны (рисунок 7).

Рисунок
Рис. 7. Равнобедренный треугольник АВС, АС = ВС

Для равнобедренного треугольника справедливы ряд свойств.

Познакомьтесь со свойствами равнобедренного треугольника и примерами решения задач, поработав с материалами видеоурока «Равнобедренный треугольник и его свойства». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Вы можете изучить доказательство свойства равнобедренного треугольника, поработав с электронным образовательным ресурсом «Теорема «В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой».

Задание 2.

Запишите свойства равнобедренного треугольника и его свойства к себе в тетрадь.

Рассмотрим пример решения задачи.

Пример 3.

На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС с углом 400 при вершине В построены квадраты BCDF и BAKT. Докажите, что отрезки ТС и AF равны и найдите угол между медианами треугольников ТСВ и ВAF, проведенными из вершины В.

Решение:

Сделаем чертеж к задаче (рисунок 8).

  1. Рассмотрим треугольники ТСВ и ВAF. В них:
    • ВС = ВА, так как это боковые стороны ∆АВС;
    • ТВ = ВF, так как ВС = ВА и ТВ = АВ как стороны квадрата и ВF = ВС как стороны квадрата;
    • ∠ТВС = ∠FВА = 400 + 900 = 1300.

    ∆ТВС = ∆FАВ по трем сторонам и углу между ними.

  2. TC = AF как соответственные стороны равных треугольников, ч. и т. д.
Рисунок
Рис. 8. Иллюстрация к Примеру 8
  1. Теперь найдем угол между медианами этих треугольников, проведенных из вершины В.
  2. ТВС и ∆FАВ равнобедренные (ТВ = ВС = АВ = BF). Медианы, проведенные из вершины В к основаниям ТС и AF, являются биссектрисами. Будем искать угол между биссектрисами этих треугольников.
  3. ∠АВМ = ∠МВF =  ∠АВF =  (∠ABC + ∠CBF) = 650.
  4. НВМ = ∠АВС +2СВМ = 400 + 2(∠АВМ – ∠АВС) = 400 + 500 = 900.

Ответ: 900.

 

А теперь потренируйтесь в решении задач, выполнив задания электронных образовательных ресурсов «Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник» и «Равнобедренный треугольник и его свойства. Периметр равнобедренного треугольника», а затем проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса «Медианы, биссектрисы, высоты равностороннего треугольника».

Последнее изменение: Monday, 12 December 2016, 21:47