Модуль 7. Второй и третий признаки равенства треугольников

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь еще с двумя признаками равенства треугольников и научитесь решать задачи на основе их использования.

Второй признак равенства треугольников

Сформулируем второй признак равенства треугольников.

Теорема (Второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

С доказательством этого признака познакомьтесь, поработав с материалами видеоурока «Второй и третий признаки равенстве треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Приведем пример решения задачи.

Пример 1.

Отрезки АВ и СК пересекаются в точке О так, что О – середина отрезка АВ = 12 см, СК = 7 см и ∠САО = ∠КВО. Докажите, что ∠АСО = ∠ВКО. Найдите периметр ∆ВКО, если АС = 5 см.

Решение:

Построим чертеж (рисунок 1).

Рисунок
Рис.1. Иллюстрация к примеру 1
  1. Рассмотрим треугольники АОС и ВОК. В них:
    • АО = ОВ, так как точка О – середина отрезка АВ;
    • ∠САО = ∠КВО по условию;
    • ∠АОС = ∠ВОК как вертикальные.

    ∆АОС = ∆ВОК по стороне и двум прилежащим к ней углам.

  2. ∠АСО = ∠ВКО как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон АО = ОВ, ч. и т. д.
  3. Теперь найдем периметр ∆ВОК.

    Так как ∆АОС = ∆ВОК, то КВ = АС = 5 см.
    АО = ОВ =  АВ = 6 см.
    СО = ОК =  АВ = 3,5 см.
    Р∆ВКО = ВК + КО + ВО = 5 + 6 + 3,5 = 14,5 см.

Ответ: Р∆ВКО = 14,5 см.

 

Рассмотрите решения задач, поработав с материалами видеоурока «Решение задач на второй признак равенства треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Выполните задания практического электронного образовательного ресурса «Второй признак равенства треугольников. Признаки равнобедренного треугольника. Исследовательская задача».

Третий признак равенства треугольников

Сформулируем третий признак равенства треугольников.

Теорема (Третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

С доказательством этого признака познакомьтесь, поработав с материалами видеоурока «Второй и третий признаки равенстве треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Приведем еще один пример решения задачи.

Пример 2.

В треугольниках КТР и АВС медианы ТН и АМ, проведенные к равным сторонам, равны. Докажите, что ∆КТР = ∆АВС, если АС = ТР.

Решение:

Сделаем чертеж (рисунок 2).

Рисунок
Рис.2. Иллюстрация к Примеру 2
  1. Рассмотрим треугольник ТНР и АМС. В них:
    • АС = ТР по условию;
    • ТН = АМ по условию;
    • КН = НР =  КР, так как ТН – медиана и ВМ = МС =  СВ, так как АМ – медиана. Но так как по условию КР = ВС, то НР = МС.

    ∆НТР = ∆АМС по трем сторонам.

  2. ∠ТРН = ∠ВСА как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон.
  3. ∆КТР = ∆АВС по двум сторонам и углу между ними, ч. и т. д.

 

Рассмотрите решения простейших задач, поработав с материалами последней части видеоурока «Второй и третий признаки равенстве треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Приведем еще один пример решения задачи.

Пример 3.

Равные отрезки КТ и МЕ пересекаются в точке О так, что отрезки КМ и ЕТ равны.

Докажите, что ∆КОЕ и ∆МОТ равнобедренные.

Решение:

Построим чертеж (рисунок 3).

Рисунок
Рис.3. Иллюстрация к Примеру 3
  1. Рассмотрим треугольники МКЕ и ТКЕ. В них:
    • КТ = МЕ по условию;
    • КМ = ЕТ по условию;
    • КЕ – общая сторона.

    ∆МКЕ = ∆ТКЕ по трем сторонам (третьему признаку равенства треугольников).

  2. ∠КМЕ = ∠ЕТК как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон.
  3. Рассмотрим треугольники МКТ и ТМЕ. В них:
    • КТ = МЕ по условию;
    • КМ = ЕТ по условию;
    • МТ – общая сторона.

    ∆МКТ = ∆ТМЕ по трем сторонам (третьему признаку равенства треугольников)

  4. ∠МКТ = ∠МЕТ как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон.
  5. Рассмотрим треугольники МКО и ТЕО. В них:
    • КМ = ЕТ по условию;
    • ∠КМЕ = ∠ЕТК;
    • ∠МКТ = ∠МЕТ.

    ∆МКО = ∆ТЕО по стороне и двум прилежащим к ней углам (второму признаку равенства треугольников).

  6. КО = ОЕ и МО = ОТ как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, то есть ∆КОЕ и ∆МОТ равнобедренные по определению, ч. и т.д.

 

Теперь поработайте с задачами видеоурока «Задачи на третий признак равенства треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Потренируйтесь в решении задач, выполняя задания электронных образовательных ресурсов «Три признака равенства треугольников» и «Три признака равенства треугольников», а затем проверьте себя, выполнив контрольные задания электронных образовательных ресурсов «Признаки равенства треугольников» и «Три признака равенства треугольников».

 

Рассмотрим еще несколько примеров решения задач с использованием все трех признаков равенства треугольников.

Пример 4.

На сторонах АВ = ВС равнобедренного треугольника АВС построены равносторонние треугольники АВК и ВСМ. Докажите, что отрезки КС и МА отсекают на сторонах АВ и ВС данного треугольника равные отрезки.

Решение:

Построим чертеж (рисунок 4).

Рисунок
Рис.4. Иллюстрация к Примеру 4
  1. Рассмотрим треугольники КВС и МВА. В них:
    • АВ = ВС по условию;
    • КВ = ВМ, так как ВМ = ВС и КВ = ВА (∆КВА и ∆ВМС равные равносторонние);
    • ∠КВС = ∠МВА, так как ∠КВС = ∠КВА + ∠АВС; ∠МВА = ∠МВС + ∠АВС.

    ∆КВС = ∆МВА по двум сторонам и углу между ними.

  2. ∠ВКС = ∠ВМА как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон.
  3. Рассмотрим треугольники КВО и МВЕ. В них:
    • КВ = ВМ;
    • ∠КВО = ∠МВЕ как углы равных равносторонних треугольников;
    • ∠ВКС = ∠ВМА (п.2).

    ∆КВО = ∆МВЕ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

  4. ВО = ВЕ как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, ч. и т. д.

Пример 5.

Отрезки КТ и МЕ пересекаются в точке О так, что ∠КЕМ = ∠ЕКТ и ∠ОЕТ = ∠ОКМ.

Докажите, что:

  1. КТ = МЕ
  2. медиана ОН в ∆МОТ является биссектрисой и высотой.

Решение:

Построим чертеж (рисунок 5).

Рисунок
Рис.5. Иллюстрация к Примеру 5
  1. Рассмотрим треугольники МКЕ и ТКЕ. В них:
    • КЕ – общая;
    • ∠КЕМ = ∠ЕКТ по условию;
    • ∠МКЕ = ∠МКО + ∠ЕКТ; ∠КЕТ = ∠МЕК + ∠ОЕТ. Так как по условию ∠КЕМ = ∠ЕКТ и ∠ОЕТ = ∠ОКМ, то ∠МКЕ = ∠КЕТ.

    ∆МКЕ = ∆ТКЕ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

  2. КМ = ЕТ как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов.

    ∠КМО = ∠ЕТО как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон.

  3. Рассмотрим треугольники МКО и ТЕО. В них:
    • КМ = ЕТ (п.2);
    • ∠МКО = ∠ТЕО по условию;
    • ∠КМО = ∠ЕТО (п.2).

    ∆МКО = ∆ТЕО по стороне и двум прилежащим к ней углам.

  4. МО = ОТ и КО = ОЕ как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов.

    КТ = КО + ОТ; МЕ = МО + ОЕ, значит КТ = МЕ, ч. и т. д.

  5. Так как МО = ОТ, то ∆МОТ равнобедренный, значит, медиана ОН, проведенная к основанию. является биссектрисой и высотой, ч. и т. д.
Последнее изменение: Monday, 12 December 2016, 21:52