Модуль 8. Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с понятием «параллельные прямые», узнаете, как можно убедиться в параллельности прямых, а также, какими свойствами обладают углы, образованные параллельными прямыми и секущей.

Параллельные прямые

Вы знаете, что понятие «прямая» относится к числу так называемых неопределяемых понятий геометрии.

Вы уже знаете, что две прямые могут совпадать, то есть иметь все общие точки, могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку. Пересекаются прямые под разными углами, при этом углом между прямыми считают наименьших из углов, которые ими образованы. Частным случаем пересечения можно считать случай перпендикулярности, когда угол, образованный прямыми, равен 900.

Но две прямые могут и не иметь общих точек, то есть не пересекаться. Такие прямые называются параллельными.

 

Поработайте с электронным образовательным ресурсом «Определение параллельности прямых».

Чтобы познакомиться с понятием «параллельные прямые», поработайте в материалами видеоурока «Признаки параллельности прямых». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Таким образом, теперь вы знаете определение параллельных прямых.

Внимание

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Из материалов фрагмента видеоурока вы узнали о различных видах углов, которые образуются при пересечении двух прямых третьей.

На рисунке 1 изображены четыре пары накрест лежащих углов при прямых a и b и секущей c.

Пары углов 1 и 2; 3 и 4 называют внутренними накрест лежащими углами (они лежат между прямыми a и b).

Пары углов 5 и 6; 7 и 8 называют внешними накрест лежащими углами (они лежат вне прямых a и b).

Рисунок
Рис. 1. Углы при двух прямых
a и b и секущей с

Пары углов 1 и 4; 3 и 2 называют внутренними односторонними углами (они лежат между прямыми a и b).

Пары углов 5 и 8; 7 и 6 называют внешними односторонними углами (они лежат вне прямых a и b).

Пары углов 1 и 8; 3 и 6; 5 и 4; 7 и 2 называют односторонними углами при прямых a и b и секущей c. Как вы видите, из пары соответственных углов один лежит между прямым a и b, а другой вне их.

Признаки параллельности прямых

Очевидно, что пользуясь определением сделать вывод о параллельности двух прямых невозможно. Поэтому для того чтобы сделать заключение о том, что две прямые параллельны, пользуются признаками.

Один из них вы уже можете сформулировать, познакомившись с материалами первой части видеоурока:

Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, то есть параллельны.

С другими признаками параллельности прямых на основе равенства определенных пар углов вы познакомитесь, поработав с материалами второй части видеоурока «Признаки параллельности прямых». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Таким образом, вы должны знать еще три признака параллельности прямых.

Теорема 2 (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Рисунок
Рис. 2. Иллюстрация к первому признаку параллельности прямых

Еще раз повторите первый признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом «Первый признак параллельности прямых».

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), а также признак параллельности прямых как перпендикулярных одной прямой.

Задание 1.

Запишите формулировку первого признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 3 (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Еще раз повторите второй признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом «Второй признак параллельности прямых».

При доказательстве второго признака параллельности прямых используется свойство вертикальных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 2.

Запишите формулировку второго признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 4 (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.

Еще раз повторите третий признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом «Третий признак параллельности прямых».

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется свойство смежных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 3.

Запишите формулировку третьего признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Для того чтобы потренироваться в решении простейших задач, поработайте с материалами электронного образовательного ресурса «Признаки параллельных прямых».

Признаки параллельности прямых используются при решении задач.

Теперь рассмотрите примеры решения задач на признаки параллельности прямых, поработав с материалами видеоурока «Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых». Copywrit

Нажмите на значок Видео

А теперь проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса «Признаки параллельных прямых».

Тот, кто хочет поработать с решением более сложных задач, может поработать с материалами видеоурока «Задачи на признаки параллельности прямых». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Свойства параллельных прямых

Параллельные прямые обладают набором свойств.

Вы узнаете, какие это свойства, поработав с материалами видеоурока «Свойства параллельных прямых». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Таким, образом, важным фактом, который вы должны знать, является аксиома параллельности.

Аксиома параллельности. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Как вы узнали из материалов видеоурока, опираясь на эту аксиому, можно сформулировать два следствия.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую параллельную прямую.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Заметим, что второе следствие можно считать еще одним признаком параллельности прямых.

Задание 4.

Запишите формулировку сформулированных следствий и их доказательства в свои тетради.

Свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей являются теоремами, обратными соответствующим признакам.

Так, из материалов видеоурока вы узнали свойство накрест лежащих углов.

Теорема 5 (теорема, обратная первому признаку параллельности прямых). При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Задание 5.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите первое свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом «Теорема, обратная первому признаку параллельности прямых».

Теорема 6 (теорема, обратная второму признаку параллельности прямых). При пересечении двух параллельных прямых соответственные углы равны.

Задание 6.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите второе свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом «Теорема, обратная второму признаку параллельности прямых».

Теорема 7 (теорема, обратная третьему признаку параллельности прямых). При пересечении двух параллельных прямых сумма односторонних углов равна 1800.

Задание 7.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите третье свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом «Теорема, обратная третьему признаку параллельности прямых».

Все свойства параллельных прямых также используются при решении задач.

Рассмотрите типичные примеры решения задач, поработав с материалами видеоурока «Параллельные прямые и задачи на углы между ними и секущей». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Рассмотрим еще несколько примеров задач.

Пример 1.

По данным рисунка 3 докажите, что ВС||КЕ, если АВ||КС.

Рисунок
Рис. 3 Иллюстрация к примеру 1

Решение:

  1. Так как АВ||КС, то ∠ВАС = ∠КСЕ как соответственные при АВ||КС и секущей АС (по свойству углов при параллельных прямых и секущей).
  2. ∆АВС = ∆СКЕ по двум сторонам и углу между ними.
  3. ∠ВСА = ∠КЕС как углы равного треугольника, лежащие напротив равных сторон.
  4. ВС||КЕ по признаку параллельности прямых (∠ВСА = ∠КЕС и они соответственные при ВС и КЕ и секущей СЕ), ч. и т. д.

Пример 2.

По данным рисунка 4 найдите все обозначенные углы, если известно, что ∠3 = 4∠1.

Рисунок
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2

Решение:

  1. На рисунке указаны значения внутренних односторонних углов при прямых a и b и секущей c. Их сумма равна 1800. Поэтому по признаку параллельности прямых a||b.
  2. Углы 1 и 2 накрест лежащие при a||b и секущей c. По свойствам углов при параллельных прямых и секущей ∠2 = ∠1.
  3. Так как по условию ∠3 = 4∠1, то ∠3 = 4∠2. А углы 3 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 1800. То есть ∠3 + ∠2 = 1800, значит, ∠2 + 4∠2 = 1800, 5∠2 = 1800, ∠2 = 360.
  4. Тогда ∠1 = 360, ∠3 = 1440.

Ответ: ∠1 = 360, ∠2 = 360, ∠3 = 1440.

Пример 3.

На рисунке 5 ME||ВC, СО – биссектриса ∠ЕСТ, ЕКбиссектриса ∠МЕС. Докажите, что КE||ОC.

Рисунок
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

Решение:

  1. Так как ME||ВC, то ∠МЕС = ∠ЕСТ как накрест лежащие углы при параллельных прямых ME||ВC и секущей ЕС.
  2. Так как СОбиссектриса ∠ЕСТ, ЕКбиссектриса ∠МЕС, то ∠КЕС =  ∠МЕС, ∠ЕСО =  ∠ЕСТ, то есть ∠КЕС = ∠ЕСО.
  3. ∠КЕС и ∠ЕСО накрест лежащие при КЕ и СО и секущей ЕС. По признаку параллельности прямых и секущей КE||ОC, ч. и т. д.

 

Потренируйтесь самостоятельно в решении задач на свойства углов при параллельных прямых и секущей, выполнив задания практического электронного образовательного ресурса «Свойства параллельных прямых», а затем проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса «Признаки и свойства параллельных прямых».

Последнее изменение: Monday, 12 December 2016, 22:01