Модуль 9. Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с важной теоремой о сумме углов треугольника, а также узнаете несколько важных фактов о связи сторон и углов в треугольнике.

Сумма углов треугольника

Вы уже знаете, что если один из углов треугольника равен 90°, то такой треугольника называется прямоугольным.

Рисунок
Рис. 1. Прямоугольный треугольник АВС
Внимание

Стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия: две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, а третья сторона, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. На рисунке 1 стороны ВС и АС – катеты, ВА – гипотенуза.

 

Для первого знакомства с теоремой о сумме углов треугольника поработайте с материалами видеоурока «Виды треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Таким образом, в материалах видеоурока сформулирована теорема, которую вы должны знать.

Теорема 1 (о сумме углов треугольника).
Сумма углов треугольника равна 180°.

Как вы видели, доказательство этой теоремы в содержании видеоурока осуществляется двумя разными способами.

Первый способ опирается на следующие факты:

1.1) Сумма углов в прямоугольнике равна 360°.
1.2) Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак равенства прямоугольных треугольников является частным случаем первого признака равенства произвольных треугольников: по двум сторонам и углу между ними. В данном конкретном случае сторонами являются катеты прямоугольного треугольника, а угол между ними равен 90°.
1.3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Перечисленные три факта вы тоже должны знать.

Второй способ опирается на следующие факты:

2.1) Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
2.2) При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
2.3) Развернутый угол равен 180°. Поэтому сумма углов, составляющих развернутый угол, равна 180°.
Эти факты вам тоже нужно знать.

Задание 1.

Запишите формулировку и доказательство теоремы о сумме углов треугольника в свои тетради, если у вас появятся вопросы, обсудите их на форуме или видеокомнате.

Заметим, что кроме внутренних углов в треугольнике выделяют внешние углы.

На рисунке 2 углы АВЕ, ВСМ, САК являются внешними. Всего у треугольника шесть внешних углов.

Рисунок
Рис. 2. Треугольник АВС с внешними углами

Задание 2.

Назовите еще три внешних угла треугольника АВС, изображенного на рисунке 2.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует важный вывод:

Теорема 2 (о внешнем угле треугольника).
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Как доказать эту теорему, вы узнаете, поработав с материалами второй части видеоурока «Виды треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Задание 3.

Запишите доказательство теоремы и пример решения задачи к себе в тетрадь.

 

А теперь рассмотрите примеры решения задач, в которых используются доказанные теоремы, поработав с материалами видеоурока «Задачи на углы треугольника». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Рассмотрим еще два примера решения задач на основе изученных фактов.

Пример 1.

Могут ли углы треугольника быть равными 57°, 43° и 70°.

Решение:

Сумма данных углов равна: 57° + 43° + 70° = 170°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то данные углы не могут быть углами треугольника.

Пример 2.

Внешний угол треугольника больше углов треугольника, не смежных с ним, соответственно на 40°, и на 55°. Определите тип треугольника и найдите все его углы.

Решение:

По теореме: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Пусть внешний угол треугольника равен α. Тогда два угла треугольника, не смежных с ним, равны соответственно α – 40° и α – 55°. Тогда: α = α – 40° + α – 55°. Отсюда: α = 95°. Так как внешний угол треугольника равен 95°, то угол треугольника, смежный с ним, равен 85°. Другие углы треугольника равны соответственно 55° и 40°. Треугольника остроугольный.

Ответ: Треугольника остроугольный. 85°, 55° и 40°.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

При решении многих задач полезными оказываются факты о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Поработайте с материалами видеоурока «Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Таким образом, теперь вы знаете следующие важные факты.

Теорема (о соотношении между сторонами углами треугольника).

В треугольнике:

      1. против большей стороны лежит больший угол;
      2. против большего угла лежит большая сторона.

Задание 4.

Запишите доказательство теоремы к себе в тетрадь. Если у вас появятся вопросы, обсудите их на форуме или в видеокомнате.

На основе доказанной теоремы можно сформулировать два важных следствия.

Как формулируются эти следствия и как их можно доказать, вы узнаете, поработав с материалами видеоурока «Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Итак, вы должны следующие важные факты.

Следствие 1 (о прямоугольном треугольнике). В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

Задание 5.

Запишите доказательство следствий и пример решения задачи к себе в тетрадь. Если у вас появятся вопросы, обсудите их на форуме или в видеокомнате.

Рассмотрим еще один пример решения задач на основе изученных фактов.

Пример 3.

Две биссектрисы треугольника равны и отсекают на сторонах треугольника равные отрезки. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Решение:

Сделаем чертеж.

  1. Рассмотрим треугольники МВС и НСВ. В них:
    • ВС – общая
    • ВМ = НС по условию
    • МС = ВН по условию
    ∆ВМС = ∆НВС по трем сторонам.
  2. ∠МСВ = ∠НВС как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон.
  3. ∆АВС равнобедренный, так как в нем два угла равны, ч. и т. д.
Рисунок
Рис. 3. Иллюстрация к
Примеру 3

Неравенство треугольника

Еще одним важным фактом, который используется при решении задач, является неравенство треугольника.

Рассмотрим треугольник АВС:

Рисунок
Рис. 4. Произвольный треугольника АВС

Сформулируем для произвольного треугольника АВС неравенство треугольника.

Теорема (неравенство треугольника):

      1. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон:
        АВ < ВС + АС; АС < ВС + АВ; СВ < АВ + АС
      2. Длина каждой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон:
        АВ > |ВС – АС|; АС > |ВС – АВ|; СВ > |АВ – АС|

С доказательством этой теоремы познакомьтесь, поработав с материалами видеоурока «Неравенство треугольника». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Задание 6.

Запишите доказательство теоремы к себе в тетрадь. Если у вас появятся вопросы, обсудите их на форуме или в видеокомнате.

Рассмотрим пример решения задачи с использованием неравенства треугольника.

Пример 4.

Можно ли проволоку длиной 20 см согнуть так, чтобы получился равнобедренный треугольник с длиной одной из сторон 5 см? Если да, то чему равны длины сторон такого треугольника?

Решение:

Заметим, что в условии задачи не указано, какая из сторон равна 5 см: боковая или основание. Рассмотрим две ситуации.

  1. Если боковая сторона треугольника равна 5 см, то и вторая боковая сторона также равна 5 см. Значит, третья сторона должна быть равна 10 см (так периметр треугольника равен 20 см). Однако, это невозможно, поскольку не выполняется неравенство треугольника.
  2. Пусть основание треугольника равно 5 см. Тогда сумма боковых сторона равна 15 см. А каждая из боковых сторон равна 7,5 см. Такая ситуация возможна.
  3. Ответ: можно получить равнобедренный треугольник со сторонами: 5 см, 7,5 см, 7,5 см.

 

Закрепите свое умение решать задачи, выполнив задания практических электронных образовательных ресурсов «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника» и «Соотношение между сторонами и углами треугольника».

Последнее изменение: Monday, 12 December 2016, 22:10