Модуль 10. Прямоугольные треугольники. Признаки равенства

Цель занятия: На этом занятии вы узнаете, какие специфические признаки равенства формулируются для прямоугольных треугольников, познакомитесь с их доказательствами и научитесь применять их при решении задач.

Свойства прямоугольного треугольника

Вы уже знаете, что прямоугольным называется треугольник, один из углов которого прямой (равен 90°).

Стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия: две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, а третья сторона, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. На рисунке 1 стороны ВС и АС – катеты, ВА – гипотенуза.

Рисунок
Рис. 1. Прямоугольный треугольник АВС

Для прямоугольного треугольника справедливо следующее утверждение.

Внимание

Свойство острых углов прямоугольного треугольника.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

 

Рассмотрите решение некоторых задач на основе свойств прямоугольного треугольника, поработав с материалами видеоурока «Уголковый отражатель. Типовые задачи». Copywrit

Нажмите на значок Видео

 

Рассмотрим пример еще одной задачи с использованием этого свойства.

Пример 1.

Два отрезка АВ и СЕ пересекаются под прямым углом в точке О так, что ∠ОСВ =65°, ∠ОАЕ = 25°. Докажите, что CB||AE.

Решение:

Сделаем чертеж (рисунок 2).

Рисунок
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1
  1. Рассмотрим ∆АОЕ. По свойству острых углов прямоугольного треугольника ∠ОАЕ + ∠ОЕА = 90°. Так как ∠ОАЕ = 25°, то ∠ОЕА = 65°. То есть ∠ОСВ = ∠ОЕА.
  2. ∠ОСВ и ∠ОЕА накрест лежащие при прямых АЕ и СВ и секущей СЕ. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые АЕ и СВ параллельны, ч. и т. д.

Сформулируем и докажем еще одно очень важное свойство прямоугольного треугольника.

Теорема. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Дано: ∆АВС, ∠С = 90°, ∠В = 30°.

Доказать: АС =  АВ.

Доказательство:

  1. ∠А = 60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то есть ∠В + ∠А = 90°).
  2. Сделаем чертеж, достроив данный треугольник до ∆АВЕ следующим образом: отложим на продолжении стороны АС за точку С отрезок СЕ = АС, затем соединим точки В и Е (рис. 3).
Рисунок
Рис. 3. Иллюстрация к теореме – свойству прямоугольного треугольника
  1. Рассмотрим треугольники АВС и ЕВС. Они прямоугольные (∠АСВ = 90° = ∠ВСЕ). В них: ВС общий катет, АС = ЕС по построению. ∆АВС = ∆АВЕ по двум сторонам и углу между ними.
  2. ВЕ = ВА как стороны равных треугольников, лежащие напротив равных углов.
    ∠ВЕС = ∠САВ = 60° как углы равных треугольников, лежащие напротив равных сторон.
    Значит, ∆АВЕ равносторонний и ВЕ = ЕА = АВ.
  3. ВС  высота ∆АВЕ. Значит, ВС  медиана, то есть С  середина АЕ и АС = СЕ =  АЕ =  АВ, ч. и т. д.

 

Рассмотрите решение еще одной задачи на основе этого свойства прямоугольного треугольника, поработав с материалами видеоурока «Уголковый отражатель. Типовые задачи». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства.

Первые два признака равенства прямоугольных треугольников фактически представляют собой частные случаи признаков равенства для произвольных треугольников.

Теорема (первый признак равенства прямоугольных треугольников). Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Познакомьтесь с доказательством этого признака, поработав с материалами видеоурока «Признаки равенства прямоугольных треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Таким образом, вы должны понимать, что для этого признака равенства прямоугольных треугольников соответствующим признаком равенства произвольных треугольников является признак равенства по двум сторонам и углу между ними. В случае прямоугольных треугольников угол между катетами равен 90°.

Задание 1.

Запишите формулировку и доказательство этого признака в свои тетради. Если у вас возникли вопросы, обсудите их на форуме или в видеокомнате.

Теорема (второй признак равенства прямоугольных треугольников). Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Познакомьтесь с доказательством этого признака, поработав с материалами видеоурока «Признаки равенства прямоугольных треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Таким образом, этот признак равенства прямоугольных треугольников соответствует признаку равенства произвольных треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Задание 2.

Запишите формулировку и доказательство второго признака в свои тетради. Если у вас возникли вопросы, обсудите их на форуме или в видеокомнате.

Теорема (третий признак равенства прямоугольных треугольников). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Познакомьтесь с доказательством этого признака, поработав с материалами видеоурока «Признаки равенства прямоугольных треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Задание 3.

Запишите формулировку и доказательство третьего признака в свои тетради. Если у вас возникли вопросы, обсудите их на форуме или в видеокомнате.

Для прямоугольных треугольников справедлив один специфичный признак равенства.

Теорема (четвертый признак равенства прямоугольных треугольников). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Познакомьтесь с доказательством этого признака, поработав с материалами видеоурока «Признаки равенства прямоугольных треугольников». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Задание 6.

Запишите формулировку и доказательство четвертого признака в свои тетради. Если у вас возникли вопросы, обсудите их на форуме или в видеокомнате.

 

Рассмотрите решение еще одной задачи на основе признаков равенства прямоугольных треугольников, поработав с материалами видеоурока «Уголковый отражатель. Типовые задачи». Copywrit

Нажмите на значок Видео

Теперь потренируйтесь в решении задач с использованием новых фактов, выполнив задания электронного образовательного ресурса «Прямоугольные треугольники. Признаки равенства прямоугольных треугольников».

 

Рассмотрим еще примеры решения задач.

Пример 2.

Два отрезка АВ и СЕ пересекаются под прямым углом в своей середине – точке О. Докажите, что ВС = АЕ, ВС||АЕ.

Решение:

Сделаем чертеж (рис. 4).

Рисунок
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2
  1. Рассмотрим треугольники АОЕ и СОВ. Они прямоугольные и имеют по два равных катета. Значит, эти треугольники равны.
  2. АЕ = СВ как гипотенузы равных треугольников, ч. и т. д.
    ∠ОСВ = ∠ОЕА как углы равных треугольников, лежащие напротив равных сторон.
  3. ∠ОСВ и ∠ОЕА накрест лежащие при прямых АЕ и СВ и секущей СЕ. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые АЕ и СВ параллельны, ч. и т. д.

Пример 3.

Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведенные к соответствующим сторонам, равны.

Решение:

  1. Пусть в равных треугольниках АВС и МКТ АВ = МК, ВС = КТ, ВН – высота ∆АВС, опущенная на сторону АС, КР – высота ∆МКТ, опущенная на сторону МТ.

Сделаем чертеж (рисунок 5).

Рисунок
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3
  1. ∠АСВ = ∠МТК как углы равных треугольников, лежащие напротив равных сторон.
  2. Рассмотрим треугольники ВНС и КРТ. Они прямоугольные, так как ВН и КР высоты, значит ∠ВНС = ∠КРТ = 90°. В них ВС = КТ (гипотенузы) и АСВ = ∠МТК. Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу. То есть ∆ВНС = ∆КРТ. Значит ВН = КР как сторон равных треугольников, лежащие напротив равных углов (соответствующие катеты равных прямоугольных треугольников), ч. и т. д.

 

Решите еще несколько задач с использованием новых фактов, поработав с заданиями электронного образовательного ресурса «Свойства прямоугольных треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников».

Последнее изменение: Monday, 12 December 2016, 22:15